A B. 4582. feladat (2013. december)

B. 4582. Jelölje d(n) az n pozitív egész szám pozitív osztóinak a számát. Határozzuk meg azokat az n számokat, amelyekre

d(n³)=5^.d(n).

Javasolta: Di Giovanni Márk (Győr, Révai Miklós Gimnázium)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az n=1 nem megoldása az egyenletnek, ezért n $\ge$ 2. Legyen n prímténytezős felbontása n=p₁^a₁^....^.p_k^a_k, ahol k $\ge$ 1, p₁,...,p_k különböző prímszámok, és a₁,...,a_k pozitív egészek. Ekkor $d(n) = \prod_{i=1}^k (a_i+1)$ és $d(n^3) = \prod_{i=1}^k (3a_i+1)$ , az egyenletünk pedig a következő alakba írható:

$5 = \prod_{i=1}^k \frac{3a_i+1}{a_i+1}.$

A jobboldalon minden tényező 2 és 3 közé esik, ugyanis $\frac{3a_i+1}{a_i+1} < \frac{3a_i+3}{a_i+1} =3$ és $\frac{3a_i+1}{a_i+1} \ge \frac{(2a_i+1)+1 }{a_i+1} =2$ . Egyetlen tényező esetén a szorzat kisebb, mint 3; legalább három tényező esetén pedig a szorzat értéke legalább 8. Ezért a tényezők száma csak 2 lehet: k=2.

Vezessünk be új jelöléseket: legyen p=p₁, q=p₂, a=a₁ és b=a₂. Az új egyenlet:

(3a+1)(3b+1)=5(a+1)(b+1)

(2a-1)(2b-1)=5.

Az 5 csak egyféleképpen bontható pozitív egészek szorzatává; azt kapjuk, hogy a és b közül az egyik 1, a másik 3. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a=3 és b=1. Tehát

n=p³^.q,

ahol p és q különböző prímek.

Az ilyen alakú számok valóban megoldások, mert d(n)=d(p³q)=4^.2=8 és d(n³)=f(p⁹q³)=10^.4=40.

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 106 versenyző.

2 pontot kapott: 21 versenyző.

1 pontot kapott: 22 versenyző.

0 pontot kapott: 9 versenyző.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai

158 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	106 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?