Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4587. feladat (2013. december)

B. 4587. Oldjuk meg a 4^{x}-3^{x}=\mathop{\rm tg} 15^{\circ} egyenletet.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mint jól ismert,

\tg 15^\circ = \tg (60^\circ-45^\circ) = \frac{\tg 60^\circ-\tg 45^\circ}{1+\tg 60^\circ\cdot\tg 45^\circ} = \frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3} = \frac{\big(\sqrt3-1\big)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} = 2-\sqrt3 = 4^{1/2}-3^{1/2},

ezért x=\frac12 megoldása az egyenletnek.

Az egyenlet baloldala

4^x-3^x = 3^x \cdot \left(\bigg(\frac43\bigg)^x-1\right).

Ha x\le0, akkor ez nempozitív, így az egyenlet nem teljesülhet. A (0,\infty) félegyenesen pedig a 3^x \cdot \left(\bigg(\frac43\bigg)^x-1\right) kifejezés két pozitív, szigorúan növő függvény szorzata, ezért maga is szigorúan monoton nő. Így legfeljebb egy pozitív megoldás létezhet, amit már meg is találtunk.

Az egyenletnek egy valós megoldása van: x=\frac12.

Statisztika:

207 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:67 versenyző.
2 pontot kapott:96 versenyző.
1 pontot kapott:30 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai