A B. 4629. feladat (2014. április) |
B. 4629. Oldjuk meg a
\(\displaystyle 2\sin\frac{3x}{2}=3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right). \)
egyenletet.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Alkalmazzuk az \(\displaystyle x=t+\frac{2\pi}{3}\) helyettesítést. Ekkor az egyenlet
\(\displaystyle 2\sin\left(\frac{3t}{2}+\pi\right)=3\sin(t+\pi) \)
alakra hozható. Ezután kihasználva, hogy a szinusz függvény páratlan, látjuk, hogy
\(\displaystyle -2\sin\left(\frac{3t}{2}\right)=-3\sin t, \quad 2\sin\left(\frac{3t}{2}\right)=3\sin t. \)
Egy kezelhetőbb alakot kaptunk. A szög háromszorosára és kétszeresére vonatkozó addíciós tételek \(\displaystyle \frac{t}{2}\)-re történő alkalmazásával
\(\displaystyle 2\cdot \sin\frac{t}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{t}{2}\right)=3\cdot 2\cdot \sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}. \)
Rendezés is kiemelés után
\(\displaystyle \sin\frac{t}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{t}{2}-3 \cos\frac{t}{2}\right)=0. \)
Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Emiatt
\(\displaystyle \sin\frac{t}{2}=0 \quad \text{vagy}\quad 3-4\sin^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}=0. \)
Az első egyenletből
\(\displaystyle \frac{t}{2}=k\pi \Longleftrightarrow t=2k\pi \Longleftrightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad \text{ahol}\quad k\in \mathbb{Z}. \)
A második egyenlet a négyzetes összefüggés beírása után \(\displaystyle \cos\frac{t}{2}\)-re másodfokú:
\(\displaystyle 3-4+4\cos^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}=0, \quad 4\cos^{2}\frac{t}{2}-3\cos\frac{t}{2}-1=0. \)
Ennek megoldásai
\(\displaystyle \cos\frac{t}{2}=1 \quad \text{és} \quad \cos\frac{t}{2}=-\frac{1}{4}. \)
Ezek közül az elsőnek a gyökeit a \(\displaystyle \sin\frac{t}{2}=0\) megoldásainál már rögzítettük.
A \(\displaystyle \cos \frac{t}{2}=-\frac{1}{4}\) megoldásai
\(\displaystyle t\approx 1{,}8235+2l\pi\ (l\in \mathbb{Z}), \quad \text{illetve} \quad t\approx 4{,}4597+2m\pi\ (m \in \mathbb{Z}). \)
Innen a további \(\displaystyle x\) értékek
\(\displaystyle x\approx 3{,}9179+2l\pi\ (l\in \mathbb{Z}), \quad \text{továbbá} \quad x\approx 0{,}2709+2m\pi\ (m \in \mathbb{Z}). \)
Ekvivalens átalakításokat végeztünk, az egyenlet összes megoldását megkaptuk, amelyek behelyettesítéssel ellenőrizhetők is.
Schefler Barna (Hám János Liceum, Szatmárnémeti, 9. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
34 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Adorján Dániel, Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Williams Kada. 4 pontot kapott: Kovács 972 Márton, Sal Kristóf, Vu Mai Phuong. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai