![]() |
A B. 4690. feladat (2015. február) |
B. 4690. Egy egyetemről 9 matematikus együtt vett részt egy konferencián. Mivel az előadások unalmasak voltak, többször is elaludtak, mindegyikük legfeljebb 4 alkalommal. Bármelyik két matematikus esetén előfordult, hogy egyszerre aludtak. Mutassuk meg, hogy volt olyan időpont, amikor legalább hárman aludtak.
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bármely pillanatban legfeljebb 2 matematikus alszik.
Mindegyik matematikus legfeljebb 4, nemüres időintervallumban alszik. Ha valamelyik matematikus 4-nél kevesebb alkalommal alszik el, akkor kijelölhetünk neki egy vagy több extra, a többitől diszjunkt intervallumot, amikor aludnia kell; így feltehetjük, hogy mindegyikük pontosan 4-szer alszik el.
Az intervallumok apró módosításával azt is elérhetjük, hogy az elalvások és felébredések különböző időpontokban történjenek; ekkor tehát összesen \(\displaystyle 9\times 8=72\) olyan pillanat lesz, amikor valaki elalszik vagy felébred.
Legyen \(\displaystyle f(x)\) az \(\displaystyle x\) pillanatban alvó matematikusok száma. Egy egy szakaszonként konstans függvény, ami összesen \(\displaystyle 72+1=73\) konstans szakaszból áll. A szomszédos szakaszok között \(\displaystyle f\) értéke \(\displaystyle \pm1\)-et változik; a két szélső félegyenesen értéke \(\displaystyle 0\), a második és az utolsó előtti szakaszon \(\displaystyle 1\). A közbülső 69 szakasz közül legfeljebb minden második szakaszon lehet a függvény értéke \(\displaystyle 2\); ez tehát legfeljebb 35 szakasz.
Ugyanakkor bármelyik két matematikushoz van legalább egy olyan szakasz, amikor ők ketten alszanak. Mivel \(\displaystyle \binom92=36\), legalább \(\displaystyle 36\) ilyen szakasznak kellene lennie. Ellentmondásra jutottunk.
Statisztika:
82 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 56 versenyző. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2015. februári matematika feladatai