A B. 4690. feladat (2015. február)

B. 4690. Egy egyetemről 9 matematikus együtt vett részt egy konferencián. Mivel az előadások unalmasak voltak, többször is elaludtak, mindegyikük legfeljebb 4 alkalommal. Bármelyik két matematikus esetén előfordult, hogy egyszerre aludtak. Mutassuk meg, hogy volt olyan időpont, amikor legalább hárman aludtak.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bármely pillanatban legfeljebb 2 matematikus alszik.

Mindegyik matematikus legfeljebb 4, nemüres időintervallumban alszik. Ha valamelyik matematikus 4-nél kevesebb alkalommal alszik el, akkor kijelölhetünk neki egy vagy több extra, a többitől diszjunkt intervallumot, amikor aludnia kell; így feltehetjük, hogy mindegyikük pontosan 4-szer alszik el.

Az intervallumok apró módosításával azt is elérhetjük, hogy az elalvások és felébredések különböző időpontokban történjenek; ekkor tehát összesen \(\displaystyle 9\times 8=72\) olyan pillanat lesz, amikor valaki elalszik vagy felébred.

Legyen \(\displaystyle f(x)\) az \(\displaystyle x\) pillanatban alvó matematikusok száma. Egy egy szakaszonként konstans függvény, ami összesen \(\displaystyle 72+1=73\) konstans szakaszból áll. A szomszédos szakaszok között \(\displaystyle f\) értéke \(\displaystyle \pm1\)-et változik; a két szélső félegyenesen értéke \(\displaystyle 0\), a második és az utolsó előtti szakaszon \(\displaystyle 1\). A közbülső 69 szakasz közül legfeljebb minden második szakaszon lehet a függvény értéke \(\displaystyle 2\); ez tehát legfeljebb 35 szakasz.

Ugyanakkor bármelyik két matematikushoz van legalább egy olyan szakasz, amikor ők ketten alszanak. Mivel \(\displaystyle \binom92=36\), legalább \(\displaystyle 36\) ilyen szakasznak kellene lennie. Ellentmondásra jutottunk.

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	56 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai