 |
A B. 4691. feladat (2015. február) |
B. 4691. Tekintsünk négy párhuzamos egyenest a síkon. Legyenek ezek sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) távolsága 1, \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) távolsága 3, \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) távolsága szintén 1. Tekintsük azokat a téglalapokat, amelyek csúcsai közül mind a négy egyenesen pontosan egy helyezkedik el. Hogyan kapjuk meg azt a téglalapot, amelynek a lehető legkisebb a területe, és mekkora ez a terület?
(3 pont)
A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek a téglalap \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), és \(\displaystyle d\) egyeneseken lévő csúcspontjai rendre \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\). Állítsunk merőlegeseket a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokból az \(\displaystyle a\) egyenesre, talppontjaik legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\).
A \(\displaystyle BAE\sphericalangle =ACF\sphericalangle\) merőleges szárú szögek, jelöljük őket \(\displaystyle \alpha \)-val.
Az \(\displaystyle ABE\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle BE=1\), így \(\displaystyle AB=\frac{1}{\sin \alpha}\).
Az \(\displaystyle ACF\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle CF=4\), így \(\displaystyle AC=\frac{4}{\cos \alpha}\).
A téglalap területe:
\(\displaystyle T=AB\cdot AC=\frac{4}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}=\frac{8}{2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha}=\frac{8}{\sin 2\alpha}. \)
A téglalap területe akkor lesz minimális, ha \(\displaystyle \sin 2\alpha\) értéke maximális. Ez a \(\displaystyle 0\le \alpha \le 90^{\circ}\) tartományban \(\displaystyle \alpha =45^{\circ}\)-nál lesz, ekkor \(\displaystyle \sin 2\alpha =\sin 90^{\circ}=1\).
Tehát a legkisebb területű téglalap az lesz, ahol az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os szöget zár be az \(\displaystyle a\) egyenessel. Ekkor a téglalap területe \(\displaystyle T=8\) területegység.
Marozsák Tóbiás (Budapest, Óbudai Árpád Gimn. 9. évf.) és Szemerédi Levente (Szeged, Radnóti M. Kísérleti Gimn. és Ált. Isk., 9. évf.) dolgozata alapján
Statisztika:
129 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 86 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 15 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. februári matematika feladatai