 |
A B. 4960. feladat (2018. május) |
B. 4960. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső pontja, az \(\displaystyle A^*\), \(\displaystyle B^*\) és \(\displaystyle C^*\) pontok pedig rendre az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) szakaszok tetszőleges pontjai. Húzzunk párhuzamost az \(\displaystyle A^*\) ponton keresztül \(\displaystyle BP\)-vel és \(\displaystyle CP\)-vel, ezek messék az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalakat rendre az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontokban az ábra szerint. Hasonlóan, a \(\displaystyle B^*\)-on keresztül \(\displaystyle CP\)-vel és \(\displaystyle AP\)-vel húzott párhuzamosok a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle B_2\) pontokban, míg a \(\displaystyle C^*\)-n keresztül \(\displaystyle AP\)-vel és \(\displaystyle BP\)-vel húzott párhuzamosok az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalakat rendre a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\) pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle AC_1 \cdot BA_1 \cdot CB_1 = AB_2\cdot BC_2 \cdot CA_2. \)
Javasolta: Kozma József (Szeged)
(3 pont)
A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Írjuk fel a párhuzamos szelők tételét \(\displaystyle PAC\angle\)-ben \(\displaystyle A^*A_2\) és \(\displaystyle PC\) szelőkkel, így kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{CA_2}{CA}=\frac{PA^*}{PA}.\)
Szintén a párhuzamos szelők tételét alkalmazva \(\displaystyle PAB\angle\)-ben \(\displaystyle A^*A_1\) és \(\displaystyle PB\) szelőkkel nyerjük, hogy:
\(\displaystyle \frac{PA^*}{PA}=\frac{BA_1}{BA}.\)
Így
\(\displaystyle \frac{CA_2}{CA}=\frac{BA_1}{BA}.\)
Hasonló megfontolásokkal beláthatjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{AB_2}{AB}=\frac{PB^*}{PB}=\frac{CB_1}{CB} ;\quad \quad \frac{BC_2}{BC}=\frac{PC^*}{PC}=\frac{AC_1}{AC}.\)
A kapott három egyenlőség bal-, ill. jobboldalait összeszorozva
\(\displaystyle \frac{CA_2}{CA}\cdot \frac{AB_2}{AB}\cdot \frac{BC_2}{BC}=\frac{BA_1}{BA}\cdot \frac{CB_1}{CB} \cdot \frac{AC_1}{AC}\)
adódik, amiből az állítás következik.
Statisztika:
60 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Al-Hag Máté Amin, Apagyi Dávid, Argay Zsolt, Baski Bence, Beke Csongor, Bukva Dávid, Bursics András, Daróczi Sándor, Deák Bence, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fey Mihály, Fitos Bence, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Győrffy Johanna, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kántor András Imre, Kerekes Anna, Kitschner Bernadett, Kocsis Anett, Kupás Vendel Péter, Mikulás Zsófia, Nguyen Bich Diep, Olosz Adél, Pituk Gábor, Póta Balázs, Reimann Kristóf, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó 864 Blanka, Szőnyi Laura, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Tóth Ábel, Tubak Dániel, Velich Nóra. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai