A B. 4963. feladat (2018. május)

B. 4963. Egy háromszög hozzáírt körei legnagyobbikának sugara legyen \(\displaystyle r_a\), a köré írt kör sugara pedig \(\displaystyle R\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle r_a \ge \frac32 R\).

Erdős Pál (1913–1996) feladata

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Legyenek a háromszög oldalai \(\displaystyle a,b,c\), félkerülete \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}2\). A háromszög \(\displaystyle t\) területére sokféle képlet ismert, például

\(\displaystyle t = \frac{abc}{4R}; \quad t = r_a(s-a) = r_b(s-b) = r_c(s-c); \)

\(\displaystyle t^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) \quad \text{(Héron-képlet)}. \)

Ezek alapján

\(\displaystyle R = \frac{abc}{4t}, \quad r_a=\frac{t}{s-a}. \)

Azért, hogy könnyebben közös nevezőre hozhassunk, az utóbbi törtet bővítsük \(\displaystyle t\)-vel. A Héron-képlet beírása után \(\displaystyle (s-a)\)-val is egyszerűsíthetünk:

\(\displaystyle r_a = \frac{t^2}{t(s-a)} = \frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{t(s-a)} = \frac{s(s-b)(s-c)}{t}. \)

A feltétel szerint \(\displaystyle r_a\ge r_b\) és \(\displaystyle r_a\ge r_c\); ez ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle s-a\le s-b\) és \(\displaystyle s-a\le s-c\). Válasszük az \(\displaystyle s-a\) távolságot egységnek; legyen \(\displaystyle s-a=1\), \(\displaystyle s-b=1+x\) és \(\displaystyle s-c=1+y\), ahol \(\displaystyle x,y\ge0\). Ekkor \(\displaystyle a=(s-b)+(s-c)=2+x+y\), \(\displaystyle b=(s-a)+(s-c)=2+y\), \(\displaystyle c=(s-a)+(s-b)=2+x\), \(\displaystyle s=(s-a)+(s-b)+(s-c)=3+x+y\). Ezek után

\(\displaystyle r_a - \frac32 R = \frac{s(s-b)(s-c)}{t} - \frac{3abc}{8t} = \)

\(\displaystyle = \frac{8(3+x+y)(1+x)(1+y)-3(2+x+y)(2+y)(2+x)}{8t} = \)

\(\displaystyle = \frac{8x+8y+2x^2+22xy+2y^2+5x^2y+5xy^2}{8t} \ge 0, \)

vagyis \(\displaystyle r_a\ge\frac32R\). Az is jól látszik, hogy egyenlőség csak \(\displaystyle x=y\), vagyis szabályos háromszög esetén áll fenn.

2. megoldás (vázlat). Legyenek a háromszög csúcsai \(\displaystyle A,B,C\), a köré írt kör középontja \(\displaystyle O\), a hozzáírt körök középpontjai \(\displaystyle J_a,J_b,J_c\), sugaraik \(\displaystyle r_a,r_b,r_c\), továbbá \(\displaystyle d_a=OJ_a\), \(\displaystyle d_b=OJ_b\) és \(\displaystyle d_c=OJ_c\).

A jól ismert Euler-féle képletek szerint

\(\displaystyle d_a^2 = R(R+2r_a), \quad d_b^2 = R(R+2r_b), \quad d_c^2 = R(R+2r_c); \)

Mivel \(\displaystyle r_a\) a legnagyobb hozzáírt kör, a \(\displaystyle d_a,d_b,d_c\) távolságok közül a \(\displaystyle d_a\) a legnagyobb. A feladat megoldásához elég azt igazolnunk, hogy \(\displaystyle d_a\ge 2R\).

A \(\displaystyle J_aJ_bJ_c\) háromszög oldalai az \(\displaystyle ABC\) háromszög külső szögfelezői, a magasságok az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső szögfelezői. A \(\displaystyle J_aJ_bJ_c\) háromszög hegyesszögű, és talpponti háromszöge az \(\displaystyle ABC\) háromszög. A \(\displaystyle J_aJ_bJ_c\) háromszög Feuebach-köre tehát az \(\displaystyle ABC\) kör. Mivel a Feuebach-kör éppen feleakkora, mint a körülírt kör, az \(\displaystyle J_aJ_bJ_c\) háromszög köré írt kör sugara pontosan \(\displaystyle 2R\).

A legkisebb sugarú kör, amely tartalmaz egy rögzített hegyesszögű háromszöget, a háromszög köré írt kör. Az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle d_a\) sugarú kör tartalmazza a \(\displaystyle J_aJ_bJ_C\) hegyesszögű háromszöget, ezért ennek sugara, a \(\displaystyle d_a\) távolság, legalább akkora, mint a \(\displaystyle J_aJ_bJ_C\) kör sugara, azaz \(\displaystyle 2R\). Tehát \(\displaystyle d_a\ge 2R\).

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baski Bence, Beke Csongor, Daróczi Sándor, Deák Bence, Dobák Dániel, Fitos Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Pituk Gábor, Richlik Róbert, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	Csiszár Zoltán, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Noszály Áron, Póta Balázs, Shuborno Das, Szabó 864 Blanka, Tóth Ábel.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai