Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5043. feladat (2019. szeptember)

B. 5043. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\) halmaznak páratlan sok olyan nemüres részhalmaza van, amelyben az elemek átlaga egész szám.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle S:=\{1,2,\dots,13\}\) halmaz egy részhalmaza. Legyen \(\displaystyle A'\) az a halmaz, melyet úgy kapunk, hogy \(\displaystyle A\)-t tükrözzük a 7-re, vagyis:

\(\displaystyle A'=\{14-a:a\in A\}.\)

Világos, hogy ekkor \(\displaystyle A'\) is \(\displaystyle S\) egy részhalmaza, továbbá, ha \(\displaystyle A\)-ban az elemek átlaga \(\displaystyle s\), akkor \(\displaystyle A'\)-ben az elemek átlaga \(\displaystyle 14-s\) lesz. (Ugyanis, ha \(\displaystyle A=\{a_1,a_2,\dots,a_k\}\), akkor \(\displaystyle A'\)-ben az elemek összege \(\displaystyle (14-a_1)+(14-a_2)+\dots+(14-a_k)=14|A'|-(a_1+a_2+\dots+a_k)=14|A'|-s|A'|\).)

Tehát \(\displaystyle A\)-ban pontosan akkor egész az elemek átlaga, ha \(\displaystyle A'\)-ben is az. Ezen kívül megjegyezzük, hogy \(\displaystyle A''=(A')'=A\), vagyis a részhalmazok \(\displaystyle \{A,A'\}\) alakú párokba rendezhetők. Előfordulhat viszont, hogy bizonyos részhalmazokra \(\displaystyle A'=A\), vagyis őket saját magukkal állítjuk párba. Ha megmutatjuk, hogy ilyen nemüres részhalmazból páratlan sok van, akkor készen vagyunk, hiszen a többi megfelelő részhalmaz (valódi) párokba rendezhető, így számuk páros. Pontosan azokra a részhalmazokra lesz \(\displaystyle A'=A\), amelyek a 7-re tükrösek, vagyis minden \(\displaystyle a\in \{1,2,3,4,5,6\}\) esetén \(\displaystyle a\in A\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 14-a\in A\). (\(\displaystyle 7\in A\) és \(\displaystyle 7\notin A\) bármelyike fennálhat.) Az összes ilyen részhalmazban 7 (vagyis egész) az elemek átlaga, vagyis mind megfelelők, számuk pedig \(\displaystyle 2^7-1\), hiszen \(\displaystyle A\cap \{1,2,3,4,5,6,7\}\) bármi lehet, kivéve az üres halmazt, és ez már egyértelműen meghatározza \(\displaystyle A\)-t.

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.


Statisztika:

A B. 5043. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai