Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5062. feladat (2019. december)

B. 5062. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$$\begin{align*} x[x]+y[y] & =1,\\ [x]+[y] & =1. \end{align*}$$

(MI&Q)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\geq y\). Ekkor \(\displaystyle [x]\geq [y]\), így a második egyenlet alapján \(\displaystyle 1\leq [x]\).

Ha \(\displaystyle [x]=1\), akkor \(\displaystyle [y]=0\), és az első egyenlet \(\displaystyle x\cdot 1+y\cdot0 =1\), ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=1\). Ekkor \(\displaystyle y\) tehát bármi lehet, csak \(\displaystyle [y]=0\)-nak kell teljesülnie. Tehát ebben az esetben végtelen sok megoldást kapunk: \(\displaystyle x=1,y\in[0,1)\).

Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle [x]\geq 2\). Ekkor a második egyenlet alapján \(\displaystyle [y]=1-[x]\leq -1\). Így az első egyenlet a következő alakban írható:

\(\displaystyle x[x]+y(1-[x])=1.\)

Az egyenlet bal oldalán \(\displaystyle x[x]\geq [x]^2\geq 4\), hiszen \(\displaystyle x\geq [x]\geq 2\). Mivel \(\displaystyle [y]\leq -1\) miatt \(\displaystyle y<0\), valamint \(\displaystyle 1-[x]\leq -1\), így \(\displaystyle y(1-[x])>0\). Vagyis az egyenlet bal oldalán álló kifejezések összege nagyobb, mint 1, következésképpen az egyenlet nem teljesülhet. Tehát \(\displaystyle 1<[x]\) esetén nem kapunk megoldást.

Az \(\displaystyle y\geq x\) esetben a logikai szimmetria alapján az \(\displaystyle y=1,x\in [0,1)\) megoldásokat kapjuk.

Tehát az egyenlet megoldásai: \(\displaystyle x=1,y\in[0,1)\) és \(\displaystyle x\in [0,1),y=1\).


Statisztika:

A B. 5062. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai