Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5072. feladat (2020. január)

B. 5072. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \big[\sqrt n+\sqrt{n+3}\,\big]=\big[\sqrt{4n+5}\,\big]\) bármely pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{4n+5}\leq \sqrt{n}+\sqrt{n+3}\) minden \(\displaystyle n\) pozitív egész számra. Az egyenlet mindkét oldala nemnegatív, így a négyzetre emelés ekvivalens lépés:

\(\displaystyle 4n+5\leq n+n+3+2\sqrt{n(n+3)},\)

vagyis azt kell igazolnunk, hogy

\(\displaystyle 2n+2\leq 2\sqrt{n(n+3)}.\)

2-vel osztva, és négyzetre emelve (most is mindkét oldal nemnegatív) kapjuk, hogy elég belátni az

\(\displaystyle n^2+2n+1\leq n^2+3n\)

egyenlőtlenséget, ami valóban teljesül, hiszen \(\displaystyle n\geq 1\).

Most belátjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{n}+\sqrt{n+3}< \sqrt{4n+6}\). Ismét végig ekvivalens lépéseket alkalmazva:

\(\displaystyle n+n+3+2\sqrt{n(n+3)}<4n+6,\)

\(\displaystyle 2\sqrt{n(n+3)}<2n+3,\)

\(\displaystyle 4n^2+12n<4n^2+12n+9.\)

Tehát ez az egyenlőtlenség is minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-re teljesül.

Beláttuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{4n+5}\leq \sqrt{n}+\sqrt{n+3}<\sqrt{4n+6}\). Világos, hogy a \(\displaystyle (\sqrt{4n+5},\sqrt{4n+6})\) nyílt intervallum nem tartalmaz egész számot, hiszen a pozitív egész számok négyzetgyökének (szigorúan növekedő) sorozatában minden pozitív egész (\(\displaystyle k\)) szám egyszer szerepel (\(\displaystyle \sqrt{k^2}\)-ként). Így \(\displaystyle (\sqrt{4n+5}, \sqrt{n}+\sqrt{n+3}]\) intervallumba sem esik egész szám, vagyis \(\displaystyle [\sqrt{4n+5}]=[\sqrt{n}+\sqrt{n+3}]\) valóban teljesül.


Statisztika:

A B. 5072. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. januári matematika feladatai