A B. 5120. feladat (2020. október)

B. 5120. Kiszíneztük a pozitív egész számokat úgy, hogy \(\displaystyle a+b\) színét mindig egyértelműen meghatározza \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) színe; azaz, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle a'\) azonos színűek, valamint \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle b'\) azonos színűek, akkor \(\displaystyle a+b\) és \(\displaystyle a'+b'\) is azonos színűek. Igazoljuk, hogy ha van olyan szín, amit többször is használtunk, akkor a színezés valahonnan kezdve periodikus.

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy van olyan szín, amit többször is használtunk: például \(\displaystyle a<a'\) mellett \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle a'\) színe egyforma. Ekkor \(\displaystyle a+1\) és \(\displaystyle a'+1\) szintén egyforma színűek, sőt, indukcióval kapjuk, hogy bármely \(\displaystyle n\geq0\) mellett \(\displaystyle a+n\) és \(\displaystyle a'+n\) is egyforma színűek. Legyen \(\displaystyle d:=a'-a>0\). Megmutatjuk, hogy a színezés \(\displaystyle a\)-tól kezdve periodikus \(\displaystyle d\) periódussal. Ha ugyanis \(\displaystyle a\leq k\) tetszőleges, akkor \(\displaystyle n=k-a\geq 0\) mellett \(\displaystyle a+n=k\), valamint \(\displaystyle a'+n=k+d\). Így az, hogy \(\displaystyle a+n\) és \(\displaystyle a'+n\) azonos színűek, éppen azt jelenti, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k+d\) színe azonos. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	97 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai