Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5124. feladat (2020. október)

B. 5124. A szabályos négyoldalú gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet, \(\displaystyle E\) a gúla csúcsa. Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CE\) kitérő élek normáltranszverzálisának talppontjai az \(\displaystyle AB\) szakaszon \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle CE\) szakaszon pedig \(\displaystyle Q\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle Q\) felezi a \(\displaystyle CE\) élt. Határozzuk meg az \(\displaystyle AP: PB\) arányt, és számítsuk ki az alaplapnak az oldallapokkal bezárt szögét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás.

Legyen a gúla \(\displaystyle E\) csúcsából az \(\displaystyle AB\) élre bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle CD\) élre bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle G\), továbbá az \(\displaystyle EG\) oldalmagasságra az \(\displaystyle F\) pontból állított merőleges talppontja \(\displaystyle H\).

Az \(\displaystyle AB\) él párhuzamos a \(\displaystyle CD\) éllel, így a \(\displaystyle PQ\) normáltranszverzális merőleges a \(\displaystyle CD\)-re valamint \(\displaystyle EC\)-re, a \(\displaystyle CDE\) lap két nem párhuzamos egyenesére, tehát az egész lapsíkra is. A \(\displaystyle DC\) él merőleges az \(\displaystyle FGE\) síkra, hiszen \(\displaystyle DC\perp FG\) és \(\displaystyle DC\perp EG\). Így \(\displaystyle FH\), az \(\displaystyle EFG\) síkra illeszkedő egyenesként merőleges \(\displaystyle DC\)-re, valamint \(\displaystyle EG\)-re, így a \(\displaystyle CDE\) síkra is. Mivel ugyanarra a síkra merőlegesek, így \(\displaystyle PQ\) és \(\displaystyle FH\) párhuzamosak.

Az \(\displaystyle AB\) egyenes párhuzamos a \(\displaystyle CDE\) síkkal (hiszen annak \(\displaystyle CD\) egyenesével is párhuzamos), így minden pontja ugyanaolyan távol van a síktól, így \(\displaystyle FH=PQ\), és \(\displaystyle FPQH\) téglalap. Így \(\displaystyle HQ\parallel FP=AB \parallel GC\), és a párhuzamos szelők tétele miatt \(\displaystyle H\) felezi \(\displaystyle EG\) szakaszt. Az \(\displaystyle EFG\) háromszögben \(\displaystyle EF=EG\), hiszen a gúla szabályos. A fentiekben pedig már láttuk, hogy \(\displaystyle F\)-ből induló magasságvonala felezi a szemközti oldalt, tehát \(\displaystyle EF=FG\) is teljesül, az \(\displaystyle EFG\) háromszög szabályos. Az \(\displaystyle EF\) és \(\displaystyle FG\) is merőleges az \(\displaystyle AB\) élre, így \(\displaystyle EFG\sphericalangle=60^{\circ}\) az alaplap és oldallap hajlásszöge.

Az \(\displaystyle EGC\) háromszögben \(\displaystyle HQ\) középvonal, tehát \(\displaystyle HQ\) és a vele egyenlő hosszúságú \(\displaystyle FP\) az alapél negyede. Így azt is tudjuk, hogy a \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle 3:1\) arányban osztja ketté az \(\displaystyle AB\) szakaszt.


Statisztika:

A B. 5124. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai