Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5127. feladat (2020. november)

B. 5127. Adott egy konvex szögtartomány és egy \(\displaystyle k\) hosszúságú szakasz. Mi a mértani helye azon \(\displaystyle P\) pontoknak a szögtartományban, amelyeken keresztül húzható olyan egyenes, amely éppen \(\displaystyle k\) kerületű háromszöget metsz ki az adott szögtartományból?

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az adott szög csúcsa \(\displaystyle C\), a szögszárak az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) félegyenesek. Vegyünk egy olyan egyenest és ezzel együtt háromszöget, amely megfelel a feladat feltételének. Messe a behúzott egyenes az \(\displaystyle e\) szögszárat az \(\displaystyle A\), az \(\displaystyle f\) szögszárat pedig a \(\displaystyle B\) pontban. Majd rajzoljuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalához tartozó hozzáírt \(\displaystyle k_C\) kört. Az érintési pontok \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\).

Ismert, hogy a \(\displaystyle k_C\) körnek a \(\displaystyle C\) csúcstól számított \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle CF\) érintőszakaszai a háromszög félkerületével egyenlők. Emiatt az összes megfelelő háromszögnek ugyenez a \(\displaystyle k_C\) kör lesz a \(\displaystyle C\) csúccsal szemközti oldalhoz tartozó hozzáírt köre.

Tudjuk tehát, hogy a megfelelő \(\displaystyle P\) pontok azok, amelyekből ehhez a körhöz olyan érintő is húzható, amely a \(\displaystyle k_C\) körvonalat az \(\displaystyle EF\) íven érinti úgy, hogy elválasztja az \(\displaystyle C\) pontot és az \(\displaystyle EF\) szakaszt. A szögtartomány ezen \(\displaystyle P\) pontjait kell számba vennünk.

A szögtartomány \(\displaystyle EC, CF\) szakaszokkal és \(\displaystyle EF\) körívvel határolt részében a belső pontokra teljesül, hogy azokból mindkét, a körhöz húzott érintő ad egy-egy megoldást, míg a határoló pontok esetében – kivéve az \(\displaystyle E, F, C\) pontokat – minden esetben egy megoldást kapunk.

A körlemez belső pontjai és a szögtartománynak a körön és az előbbi tartományon kívül eső pontjai nem felelnek meg. Ezekből vagy nem húzható érintő a \(\displaystyle k_c\) körhöz, vagy az érintők nem metszik az \(\displaystyle EC\) és \(\displaystyle FC\) szakaszokat.


Statisztika:

A B. 5127. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai