A B. 5134. feladat (2020. december)

B. 5134. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle n\) egész számot, amelyre a \(\displaystyle \sqrt{\frac{3n-5}{n+1}}\) kifejezés szintén egész.

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A kifejezés pontosan akkor egész, ha a \(\displaystyle \frac{3n-5}{n+1}\) tört egy egész szám négyzete. Először vizsgáljuk meg, mikor lesz a tört értéke egész. Mivel \(\displaystyle \frac{3n-5}{n+1}=3-\frac{8}{n+1}\), ezért a tört értéke pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle n+1\mid 8\), vagyis, ha \(\displaystyle n+1\in\{-8,-4,-2,-1,1,2,4,8\}\). Ezekben az esetekben a tört értéke rendre:

\(\displaystyle 3-(-1)=4,\ 3-(-2)=5,\ 3-(-4)=7,\ 3-(-8)=11,\ 3-8=-5,\ 3-4=-1,\ 3-2=1,\ 3-1=2.\)

Ezek közül az első és a hetedik esetben lesz a kifejezés egy egész szám négyzete. Ekkor \(\displaystyle n\) értéke \(\displaystyle -9\), illetve 3. (A \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{3n-5}{n+1}}\) kifejezés értéke pedig rendre 2, illetve 1.)

Tehát a kifejezés értéke \(\displaystyle n=-9\) és \(\displaystyle n=3\) esetén lesz egész.

Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	117 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai