Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5139. feladat (2020. december)

B. 5139. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ADM\) háromszög területe nagyobb a \(\displaystyle BCM\) háromszög területénél. A négyszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle P\), \(\displaystyle AD\) oldalának felezőpontja pedig \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle AP+AQ=\sqrt2\). Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe kisebb, mint 1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területét az \(\displaystyle APQ\) háromszög területével fogjuk összehasonlítani. A különböző három- és négyszögek területét \(\displaystyle [...]\) fogja jelölni.

A feltétel szerint \(\displaystyle [ADM]>[BCM]\), ezért

\(\displaystyle [ABCD] = [ABD]+[BCM]+[CDM] < [ABD]+[ADM]+[CDM] = [ABD]+[ACD]. \)\(\displaystyle (1) \)

Az \(\displaystyle ABD\), \(\displaystyle ACD\) és \(\displaystyle APD\) háromszögek \(\displaystyle AD\) oldala közös. Mivel \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja, a \(\displaystyle P\) pont távolsága az \(\displaystyle AD\) egyenestől megyegyezik a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle C\) pontoknak az \(\displaystyle AD\) egyenestől mért távolságainak átlagával, ezért

\(\displaystyle [ABD]+[ACD] = 2[APD]. \)\(\displaystyle (2) \)

Az \(\displaystyle APQ\) és az \(\displaystyle APD\) háromszögeknek a \(\displaystyle P\)-ből induló magassága közös, a \(\displaystyle P\)-vel szemközti oldalaik aránya \(\displaystyle AQ:AD=1:2\); ebből láthatjuk, hogy

\(\displaystyle [APD] = 2[APQ]. \)\(\displaystyle (3) \)

Az \(\displaystyle APQ\) háromszög területét megbecsüljük az \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle AQ\) oldalak szorzatával, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle AQ\) távolságokra:

\(\displaystyle [APQ] \le \frac12\cdot AP\cdot AQ \le \frac12\left(\frac{AP+AQ}{2}\right)^2 = \frac12\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac14. \)\(\displaystyle (4) \)

Az (1–4) összefüggéseket kombinálva:

\(\displaystyle [ABCD] < [ABD]+[ACD] = 2[APD] = 4[APQ] \le 4\cdot\frac14 = 1. \)

Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle [ABCD]<1\).


Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Bencsik Ádám, Bognár 171 András Károly, Csilling Dániel, Csonka Illés, Duchon Márton, Feczkó Nóra, Fekete Richárd, Hajdú Bálint, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Mohay Lili Veronika, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Tashi R. Diaconescu, Terjék András József, Török Ágoston, Trombitás Karolina Sarolta, Varga Boldizsár.
4 pontot kapott:Andó Viola, Győrffi Ádám György, Rareș Polenciuc, Sógor Bence, Velich Nóra.
3 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai