A B. 5142. feladat (2021. január)

B. 5142. Egy focibajnokság egy csoportjában négy csapat szerepelt. A csoportban mindenki mindenkivel egyszer játszott. Győzelemért 3, döntetlenért 1, vereségért 0 pont járt. A két legtöbb pontot összegyűjtő csapat továbbjutott, a másik kettő kiesett. Pontegyenlőség esetén sorsolással döntöttek. Melyek azok a \(\displaystyle p\) számok, amelyekre előfordulhat, hogy egy továbbjutónak és egy kiesőnek egyaránt \(\displaystyle p\) pontja lett?

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy ezek az értékek \(\displaystyle p=2,3,4,5,6\).

Először belátjuk, hogy \(\displaystyle p\) értéke nem lehet legalább 7. Ha egy csapat legalább 7 pontot szerez, akkor vagy mindhárom meccsét megnyerte, vagy kétszer győzött és egy döntetlent játszott. Mindenképpen legyőzött tehát két másik csapatot is, akik így nem szerezhetnek 6 pontnál többet, vagyis mindenképpen kevesebb pontot szereznek nála. Tehát egy legalább 7 pontot szerző csapat mindenképpen továbbjut, így valóban \(\displaystyle p\leq 6\).

Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle p\) értéke nem lehet legfeljebb 1. Ha egy csapat legfeljebb 1 pontot szerez, akkor vagy mindháromszor kikapott, vagy kétszer kikapott és egyszer döntetlent játszott. Mindenképpen van tehát két olyan csapat is, aki legyőzte, ezek a csapatok legalább 3-3 pontot szereztek, vagyis mindenképpen megelőzik őt. Tehát egy legfeljebb 1 pontot szerző csapat mindenképpen kiesik, így valóban \(\displaystyle p\geq 2\).

Végül mutatunk példát arra, hogy a fennmaradó értékek (2, 3, 4, 5, 6) mind lehetségesek.

• \(\displaystyle p=2\): ha az egyik csapat mindhárom meccsét megnyeri, a többi mérkőzés eredménye pedig döntetlen, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 9,2,2,2\), vagyis a 2 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=3\): ha az egyik csapat mindhárom meccsét megnyeri, a másik három csapat pedig körbeveri egymást, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 9,3,3,3\), vagyis a 3 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=4\): ha az egyik csapat mindenkivel döntetlent játszik, a másik három csapat pedig körbeveri egymást, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 4,4,4,3\), vagyis a 4 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=5\): ha az egyik csapat mindenkitől kikap, a többi eredmény pedig döntetlen, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 5,5,5,0\), vagyis az 5 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.
• \(\displaystyle p=6\): ha az egyik csapat mindenkitől kikap, a másik három csapat pedig körbeveri egymást, akkor a pontszámok: \(\displaystyle 6,6,6,0\), vagyis a 6 pontos csapatok között lesz továbbjutó és kieső is.

Ezzel megmutattuk, hogy a lehetséges \(\displaystyle p\) értékek: 2, 3, 4, 5 és 6.

Statisztika:

123 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	99 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai