Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5148. feladat (2021. január)

B. 5148. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögnek \(\displaystyle C\)-nél derékszöge van. A háromszögbe írt kör a \(\displaystyle BC\) befogót a \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AC\) befogót az \(\displaystyle E\) pontban érinti. A \(\displaystyle BC\) oldalhoz hozzáírt kör a \(\displaystyle BC\) szakaszt a \(\displaystyle G\) pontban érinti; hasonlóan, az \(\displaystyle AC\) oldalhoz hozzáírt kör az \(\displaystyle AC\) szakaszt a \(\displaystyle H\) pontban érinti. A \(\displaystyle DH\) és \(\displaystyle EG\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle DGM\) és az \(\displaystyle EHM\) háromszögek köré írt körök \(\displaystyle M\)-től különböző metszéspontja a beírt körre esik.

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszöget úgy helyezzük el, hogy irányítása pozitív legyen.

Legyenek a háromszög oldalai \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle CA=b\) és \(\displaystyle AB=c\), a félkerület \(\displaystyle \frac{a+b+c}2=s\). Jól ismert, hogy a beírt és hozzáírt körök érintési szakaszainak hossza \(\displaystyle AH=BG=CD=CE=s-c\), \(\displaystyle AE=CH=s-a\) és \(\displaystyle BD=CG=s-b\). A leghosszabb oldal az \(\displaystyle AB\) átfogó, ezért \(\displaystyle CE=s-c<s-a=CH\) és \(\displaystyle CD=s-c<s-b=CG\), tehát az \(\displaystyle E\) pont a \(\displaystyle CH\) szakasz belsejébe, a \(\displaystyle D\) pont a \(\displaystyle CG\) szakasz belsejébe esik, az \(\displaystyle M\) pont pedig a \(\displaystyle DEHG\) konvex négyszög \(\displaystyle DH\) és \(\displaystyle EG\) átlóinak metszéspontja.

Jelöljük a beírt kör középpontját \(\displaystyle I\)-vel, és legyenek a háromszög hegyesszögei \(\displaystyle CAB\sphericalangle=\alpha\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=\beta\); Az \(\displaystyle AI\) és \(\displaystyle BI\) szakaszok felezik a két hegyesszöget. Mivel a háromszög derékszögű, \(\displaystyle \alpha+\beta=90^\circ\).

A \(\displaystyle CEID\) négyszög négyzet, mert a \(\displaystyle C,D,E\) csúcsoknál derékszöge van, és \(\displaystyle DI=EI\) a beírt kör sugarai; ezért \(\displaystyle CD=CE=DI=EI\). Az \(\displaystyle AIE\) és \(\displaystyle HDC\) derékszögű háromszögek egybevágók, mert \(\displaystyle AE=HC\) és \(\displaystyle EI=CD\); emiatt \(\displaystyle DHC\sphericalangle=IAE\sphericalangle=\frac\alpha2\). Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok szerepének felcserélésével ugyanígy látjuk, hogy \(\displaystyle EGC=\frac\beta2\).

A \(\displaystyle CED\) háromszög egyenlő szárú és derékszögű, ezért \(\displaystyle CED\sphericalangle=EDC\sphericalangle=45^\circ\). A \(\displaystyle GDE\) és \(\displaystyle DEH\) háromszögek szögeinek összeszámolásából kapjuk, hogy \(\displaystyle HDE\sphericalangle = DEC\sphericalangle-DHE\sphericalangle = 45^\circ-\frac\alpha2 = \frac\beta2\), és hasonlóan \(\displaystyle GED\sphericalangle=\frac\alpha2\), továbbá a \(\displaystyle DEM\) háromszögből \(\displaystyle GMD\sphericalangle= MDE\sphericalangle+DEM\sphericalangle=\frac{\alpha+\beta}2=45^\circ\).

Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle GDE\) és \(\displaystyle EHD\) háromszögek hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A két háromszög körüljárása megegyezik, és a megfelelő oldalaik \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zárnak be egymással, tehát a \(\displaystyle GDE\) háromszög egy \(\displaystyle 45^\circ\)-os, pozitív irányú forgatva nyújtással vihető át a \(\displaystyle DEH\) háromszögbe. Legyen \(\displaystyle X\) ennek a forgatva nyújtásnak a középpontja. Mivel \(\displaystyle G\) képe \(\displaystyle D\), \(\displaystyle D\) képe \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle E\) képe \(\displaystyle H\), az \(\displaystyle XGD\), \(\displaystyle XDE\), \(\displaystyle XEH\) háromszögek pozitív körüljárásúak és \(\displaystyle DXG\sphericalangle = EXD\sphericalangle = HXE\sphericalangle = 45^\circ\).

Az \(\displaystyle XGD\) és az \(\displaystyle MGD\) háromszög is pozitív körüljárású, ezért az \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle M\) pontok a \(\displaystyle GD\) szakasznak ugyanarra az oldalára esnek; továbbá \(\displaystyle DXG\sphericalangle = DMG\sphericalangle = 45^\circ\), ezért a kerületi szögek tételének megfordítása szerint az \(\displaystyle X\) pont a \(\displaystyle GMD\) köríven van.

Ugyanígy, az \(\displaystyle XEH\) és az \(\displaystyle MEH\) háromszög is pozitív körüljárású és \(\displaystyle HXE\sphericalangle = HME\sphericalangle = 45^\circ\), ezért a \(\displaystyle HME\) körív is átmegy \(\displaystyle X\)-en.

Az \(\displaystyle X\) pont nem eshet egybe az \(\displaystyle M\) ponttal, mert \(\displaystyle EXD\sphericalangle=45^\circ\ne EMD\sphericalangle=135^\circ\). Tehát \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle DGM\) és az \(\displaystyle EHM\) körök \(\displaystyle M\)-től különböző metszéspontja.

Végül, az \(\displaystyle XDE\) és az \(\displaystyle IDE\) háromszög is pozitív körüljárású és \(\displaystyle EXD\sphericalangle = \frac12 EID\sphericalangle = 45^\circ\), ezért a kerületi és középponti szögek tételének megfordítása miatt az \(\displaystyle X\) pont a beírt körnek a hosszabbik \(\displaystyle ED\) ívére esik.


Statisztika:

A B. 5148. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári matematika feladatai