A B. 5151. feladat (2021. február)

B. 5151. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle a^2=b^2+ac=c^2+ab\), akkor az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok közül valamelyik kettő egyenlő.

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle b^2+ac=c^2+ab\) egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva:

\(\displaystyle b^2-c^2+ac-ab=0,\)

\(\displaystyle (b-c)(b+c-a)=0.\)

Ez az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle b=c\) vagy \(\displaystyle b+c-a=0\). Előbbi esetben készen vagyunk, tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle b+c-a=0\), azaz \(\displaystyle a=b+c\). Ezt az \(\displaystyle a^2=b^2+ac\) egyenletbe behelyettesítve:

\(\displaystyle (b+c)^2=b^2+(b+c)c,\)

\(\displaystyle b^2+2bc+c^2=b^2+bc+c^2,\)

\(\displaystyle bc=0.\)

Mivel \(\displaystyle a=b+c\), valamint \(\displaystyle bc=0\) alapján \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valamelyike biztosan 0, így \(\displaystyle a\) megegyezik \(\displaystyle b\)-vel vagy \(\displaystyle c\)-vel.

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Megjegyzés. A feltételeknek eleget tevő \(\displaystyle (a,b,c)\) hármasok a fentiek alapján könnyen meg is kereshetők. Ha \(\displaystyle b=c\), akkor az \(\displaystyle a^2=b^2+ab\) másodfokú egyenletet megoldva: \(\displaystyle a=\frac{b\pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2}=\frac{b\pm \sqrt{5}b}{2}\) alapján az \(\displaystyle (\frac{1+\sqrt5}{2}b,b,b)\), \(\displaystyle (\frac{1-\sqrt5}{2}b,b,b)\) alakú hármasokat kapjuk.

Ha pedig \(\displaystyle a=b+c\), akkor \(\displaystyle bc=0\) alapján az \(\displaystyle (a,0,a)\), \(\displaystyle (a,a,0)\) alakú hármasokat kapjuk.

Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	101 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai