 |
A B. 5304. feladat (2023. március) |
B. 5304. \(\displaystyle a)\) Vannak-e olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, amelyekre
\(\displaystyle a+b \mid a^2+b^2, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^4 + b^4? \)
\(\displaystyle b)\) Vannak-e olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, amelyekre
\(\displaystyle a+b \mid a^4+b^4, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^2+b^2? \)
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Nincsenek ilyen számok, mivel
\(\displaystyle a^4 + b^4 = (a^2-b^2) a^2 + (a^2+b^2) b^2 = (a+b)(a-b)a^2 + (a^2+b^2) b^2. \)
Az első összeadandó mindig osztható \(\displaystyle (a+b)\)-vel. Ha \(\displaystyle a+b \mid a^2+b^2\), akkor a második összeadandó, és így az összeg, \(\displaystyle a^4+b^4\) is osztható \(\displaystyle (a+b)\)-vel.
b) Vannak ilyen számok, például:
- \(\displaystyle a = 14\), \(\displaystyle b = 2\) esetén \(\displaystyle a + b = 16 = 2^4\), \(\displaystyle a^2 + b^2 = 200 = 2^3 \cdot 5^2\) míg \(\displaystyle a^4+b^4 = 38432 = 2^5 \cdot 1201\).
- Bármely \(\displaystyle n > 2\) egész szám esetén \(\displaystyle a = n^3-n\) és \(\displaystyle b = n\) jó, hiszen ekkor \(\displaystyle a+b = n^3\),
\(\displaystyle a^2+b^2 = (n^3-n)^2 + n^2 = n^3(n^3-2n) + 2n^2\), itt mivel \(\displaystyle n > 2\), ezért \(\displaystyle n^3 \nmid 2n^2\);
míg \(\displaystyle a^4+b^4 = (n^3-n)^4 + n^4 = n^4 \left( (n^2-1)^4 + 1) \right)\).
Megjegyzés: Egy lehetséges módszer a b) részhez alkalmas példa keresésére a következő.
Mivel \(\displaystyle a+b \mid a^2-b^2\) és \(\displaystyle a+b \mid a^4-b^4\), ezért \(\displaystyle a+b \nmid a^2+b^2 \Leftrightarrow a+b \nmid 2b^2\) és \(\displaystyle a+b \mid a^4+b^4 \Leftrightarrow a+b \mid 2b^4\).
Tehát \(\displaystyle b\) lehet egy tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész, ekkor az \(\displaystyle a+b\) összeg \(\displaystyle 2b^4\)-nek egy olyan osztója kell legyen, amely \(\displaystyle 2b^2\)-nek nem osztója.
Statisztika:
116 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 67 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 33 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai