 |
A B. 5315. feladat (2023. április) |
B. 5315. Tekintsünk egy \(\displaystyle ABC\) háromszöget. Az \(\displaystyle AB\) oldal meghosszabbításán, \(\displaystyle B\)-n túl vegyük fel a \(\displaystyle B'\) pontot, továbbá az \(\displaystyle AC\) oldal meghosszabbításán, \(\displaystyle C\)-n túl vegyük fel a \(\displaystyle C'\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BB'=CC'\) teljesüljön. Jelölje \(\displaystyle k\), illetve \(\displaystyle k'\) az \(\displaystyle ABC'\) háromszög, illetve az \(\displaystyle AB'C\) háromszög körülírt körét. Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) közös húrja az \(\displaystyle A\)-ból induló szögfelezőre esik.
Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle k\) és a \(\displaystyle k'\) kör egyik metszéspontja \(\displaystyle A\); jelöljük a második metszéspontot \(\displaystyle M\)-mel. Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szög felezőjén van.
Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szögtartomány belsejében van. A \(\displaystyle B'\) pont a \(\displaystyle k\) körben a \(\displaystyle AB\) húr meghosszabbításán, tehát a körön kívül van. A \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle AC'\) húr belső pontja, tehát \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle k\) kör belsejébe esik. Ezért a \(\displaystyle k'\) kör mindkét két \(\displaystyle BC'\) íve elmetszi a \(\displaystyle k\) kört. Az \(\displaystyle A\) és az \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle k'\) kör egymással szemközti \(\displaystyle B'C\) ívein vannak, tehát a pontok sorrendje \(\displaystyle B',A,C,M\), így \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle B'AC\) szögtartomány belsejébe esik.
Az \(\displaystyle ABMC'\) és \(\displaystyle AB'MC\) húrnégyszögekből
\(\displaystyle B'BM\sphericalangle = 180^\circ-MBA\sphericalangle = AC'M\sphericalangle = CC'M\sphericalangle \)
és
\(\displaystyle MB'B\sphericalangle = MB'A\sphericalangle = 180^\circ-ACM\sphericalangle = MCC'. \)
A feladat feltételei szerint \(\displaystyle BB'=CC'\). A \(\displaystyle BB'M\) és \(\displaystyle C'CM\) háromszögekben egy-egy oldal, és két-két szög megegyezik; a két háromszög egybevágó. A \(\displaystyle BB'M\) és \(\displaystyle C'CM\) háromszögek egybevágósága miatt az \(\displaystyle M\)-ből induló magasságok is ugyanakkorák; az \(\displaystyle M\) pont tehát ugyanakkora távolságban van az \(\displaystyle ABB'\) és \(\displaystyle ACC'\) egyenesektől, vagyis \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szög felezőjén van.
Statisztika:
A B. 5315. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai