A B. 5415. feladat (2024. november)

B. 5415. Beni, Lili és Domi egyszerre indulva \(\displaystyle 3\)-\(\displaystyle 3\) kört futnak az atlétikai pályán. A bíró sorban felírja azoknak a nevét, akik éppen befejeznek egy kört, és így végül egy kilenc névből álló listát kap. Hányféle lehet ez a lista, ha tudjuk, hogy egyszer sem fejezik be ketten a körüket egyszerre és mindhárman végig egyenletes sebességgel futnak?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\), hogy Beninek, Lilinek, illetve Dominak mennyi idő szükséges egy kör teljesítéséhez. Ekkor a feltétel szerint az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) és \(\displaystyle c\), \(\displaystyle 2c\), \(\displaystyle 3c\) értékek mind különbözők, a leírt sorrendet pedig ennek a 9 számnak a nagyságsorrendje határozza meg.

Azt, hogy például \(\displaystyle ia\) és \(\displaystyle jb\) (ahol \(\displaystyle 1\leq i,j\leq 3\)) közül melyik a kisebb az határozza meg, hogy \(\displaystyle a/b\) értéke \(\displaystyle j/i\)-nél kisebb, vagy nagyobb. Ha a számegyenesen ábrázoljuk az összes \(\displaystyle j/i\) értéket (\(\displaystyle 1\leq i,j\leq 3\)), akkor az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\),\(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) lehetséges sorrendjeinek száma éppen annyi, ahány részre ezek a számegyenest felosztják, vagyis 1-gyel több, mint a számuk. (Mivel a lehetséges \(\displaystyle j/i\) arányok \(\displaystyle \frac13,\frac12, \frac23,1,\frac32,2,3\), ezért ha csak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) lehetséges sorrendjeinek számát néznénk, akkor \(\displaystyle 7+1=8\) lenne a válasz.)

A 9 szám lehetséges sorrendjeinek meghatározásához tegyük fel, hogy \(\displaystyle a<b<c\), a szimmetria alapján az így kapott sorrendek számát \(\displaystyle 3!=6\)-tal szorozva kapjuk majd a feladat kérdésére a választ. Ha csak Beni és Lili áthaladási sorrendjét nézzük, akkor az számít, hogy a \(\displaystyle b/a\) arány az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok közül melyikbe esik. Ugyanígy, csak Lili és Domi áthaladási sorrendjét nézve az a kérdés, hogy a \(\displaystyle c/b\) arány az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok közül melyikbe esik. Ez így \(\displaystyle 4\cdot 4=16\) lehetőség lenne, világos, hogy mindig különböző sorrendet kapunk, azonban előfordulhat, hogy hiába tudjuk, \(\displaystyle b/a\), illetve \(\displaystyle c/b\) melyik intervallumba esik, még nem egyértelmű, hogy \(\displaystyle c/a\) hova esik. Ha \(\displaystyle b/a\in (p,q)\) és \(\displaystyle c/b\in (r,s)\) (ahol \(\displaystyle (p,q)\) és \(\displaystyle (r,s)\) is az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok valamelyike), akkor \(\displaystyle c/a\in (pr,qs)\), így ebben az esetben a lehetséges sorrendek száma 1-gyel több, mint ahány érték a \(\displaystyle \frac32, 2,3\) közül a \(\displaystyle (pr,qs)\) intervallumba esik. Az alábbi táblázatban számoljuk össze, hogy \(\displaystyle c/b\) hányféle intervallumba eshet, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle b/a\) és \(\displaystyle c/b\) hova esik:

(Például, ha \(\displaystyle 1<b/a<\frac32\) és \(\displaystyle 1<c/b<\frac32\), akkor \(\displaystyle c/a\) értéke bármi lehet az \(\displaystyle \left(1,\frac94\right)\) intervallumon belül, így \(\displaystyle c/a\) értéke az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\) és \(\displaystyle (2,3)\) intervallumokba eshet, ami 3 lehetőség.)

Tehát a lehetséges sorrendek száma \(\displaystyle a<b<c\) esetén \(\displaystyle 3+2+2+1+2+2+1+1+2+1+1+1+1+1+1+1=23\), így összesen \(\displaystyle 23\cdot 6=138\) féle lehet a lista.

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Balla Ignác , Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Csató Hanna Zita , Görömbey Tamás, Hodossy Réka, Holló Martin, Kószó Ferenc, Maróti Bálint, Molnár István Ádám, Pletikoszity Martin, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szabó 721 Sámuel, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	Aravin Peter, Blaskovics Ádám, Erdélyi Kata, Juhász-Molnár Mirkó, Klement Tamás, Li Mingdao, Nagypál Katóca, Sütő Áron, Szabó Imre Bence.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	31 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai