A B. 5439. feladat (2025. február)

B. 5439. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalapra teljesül, hogy \(\displaystyle AD<AB<2AD\). Legyen \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle AB\) oldal azon pontja, amelyre \(\displaystyle OB=AD\). Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle OB\) sugarú kör az \(\displaystyle AD\) oldalt \(\displaystyle E\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle ABCD\) területe \(\displaystyle BE^2/2\).

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a téglalap oldalhosszúságait \(\displaystyle AB = CD = a\) és \(\displaystyle BC = DA = b\). Ekkor a feltételek szerint \(\displaystyle OB = OE = b\) és \(\displaystyle AO = a-b\).

A Pitagorasz-tétel szerint az \(\displaystyle AOE\) derékszögű háromszögben:

\(\displaystyle AE^2 = OE^2 - AO^2 = b^2 - (a-b)^2 = 2ab - a^2; \)

míg az \(\displaystyle ABE\) derékszögű háromszögben:

\(\displaystyle BE^2 = AB^2 + AE^2 = a^2 + (2ab - a^2) = 2ab, \)

azaz valóban az \(\displaystyle ABCD\) téglalap területének kétszerese.

Statisztika:

111 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	98 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai