 |
A B. 5441. feladat (2025. február) |
B. 5441. Egy háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\). Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle \sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\geq\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma. \)
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A koszinusz függvény addíciós képlete szerint
\(\displaystyle \cos x + \cos y = \cos \left(\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2}\right) + \cos \left(\frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2}\right) =\cos\frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}-\sin\frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}+\)
\(\displaystyle +\cos\frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}+\sin\frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}= 2\cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}. \)
Ezzel a bizonyítandó egyenlőtlenség jobb oldala
\(\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{1}{2}\left(\cos \alpha + \cos \beta\right) + \frac{1}{2}\left(\cos \alpha + \cos \gamma\right) + \frac{1}{2}\left(\cos \beta + \cos \gamma\right) = \)
\(\displaystyle = \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \cos \frac{\beta + \gamma}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}.\)
Mivel \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) egy háromszög szögei, \(\displaystyle \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{180^{\circ} - \gamma}{2} = \cos (90^{\circ} - \frac{\gamma}{2}) = \sin \frac{\gamma}{2}\). Hasonlóan \(\displaystyle \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} = \sin \frac{\beta}{2}\) és \(\displaystyle \cos \frac{\beta + \gamma}{2} = \sin \frac{\alpha}{2}\).
A bizonyítandó egyenlőtlenség jobb oldala így
\(\displaystyle \sin \frac{\gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}. \)
A félszögek szinuszai nemnegatívak, és \(\displaystyle \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\), \(\displaystyle \cos \frac{\alpha - \gamma}{2}\) és \(\displaystyle \cos \frac{\beta - \gamma}{2}\) mindegyike legfeljebb 1, így valóban
\(\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \sin \frac{\gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2} \le \sin \frac{\gamma}{2} + \sin \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}. \)
Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha
\(\displaystyle \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} = \cos \frac{\beta - \gamma}{2} =1, \)
azaz \(\displaystyle \alpha = \beta = \gamma\), vagyis a háromszög szabályos.
Statisztika:
A B. 5441. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. februári matematika feladatai