A B. 5443. feladat (2025. február)

B. 5443. Bármilyen pozitív egész \(\displaystyle n\)-re jelölje \(\displaystyle a_n\) az \(\displaystyle n\)-nél nem nagyobb pozitív egész teljes hatványok számát. (Például \(\displaystyle a_9=4\).) Az \(\displaystyle n\) ,,izgalmas'', ha \(\displaystyle a_n \mid n\). Igazoljuk, hogy végtelen sok izgalmas szám van.

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először adjunk felső becslést \(\displaystyle a_{4^n}\)-re (azaz arra, hogy \(\displaystyle 4^n\)-ig hány teljes hatvány lehet). A \(\displaystyle 4^n\)-nél nem nagyobb teljes hatványok alapjai a \(\displaystyle 2;3;...;2^n\) számok közül kerülhetnek csak ki, és mindegyik ilyen alap esetén a kitevő legfeljebb \(\displaystyle 2n\) lehet (az is csak a 2-es alap esetén). Egy csomó teljes hatványhoz (pl. \(\displaystyle 16=2^4=4^2\)) több alap is tartozik, de mivel felülről becsülünk, ez nem okoz gondot. Azaz az eddigiek szerint \(\displaystyle a_{4^n} \leq 2 n \cdot 2^n\).

Másodszor: legyen \(\displaystyle k\) tetszőleges pozitív egész, és \(\displaystyle x_n=ka_n-n\) (\(\displaystyle n=1,2,\ldots\)). Azt fogjuk megmutatni, hogy az \(\displaystyle \lbrace x_n \rbrace\) sorozat tartalmazza a \(\displaystyle 0\)-t, mivel ekkor például \(\displaystyle x_m=0\) esetén \(\displaystyle k a_m - m = 0 \Rightarrow k a_m=m\) és \(\displaystyle a_m\) (a ,,\(\displaystyle k\) pozitív egészhez tartozó'') izgalmas szám.

\(\displaystyle x_n\)-t vizsgálva \(\displaystyle x_1= k \cdot a_1 -1=k-1 \geq 0\), míg minden további \(\displaystyle (n+1)\) indexre \(\displaystyle x_{n+1}=x_n - 1\) (ha \(\displaystyle n+1\) nem teljes hatvány), vagy \(\displaystyle x_{n+1}=x_n+(k-1) \geq x_n\) (ha \(\displaystyle n+1\) teljes hatvány).

A megoldás elején bizonyított \(\displaystyle a_{4^n} \leq 2 n \cdot 2^n\) egyenlőtlenséget felhasználva \(\displaystyle x_{4^n} \leq 2k n \cdot 2^n -4^n = -2^n\big(2^n-2kn\big)\to-\infty\) miatt az \(\displaystyle \lbrace x_n \rbrace\) sorozat tartalmaz negatív elemet. Ha \(\displaystyle x_{n+1}\) az első negatív elem a sorozatban, akkor \(\displaystyle x_n=0\), vagyis \(\displaystyle k\cdot a_n=n\).

Azaz tetszőleges \(\displaystyle k\) pozitív egész esetén van olyan \(\displaystyle n\), amelyre \(\displaystyle k\cdot a_n=n\), és így persze \(\displaystyle n\) izgalmas szám. Mivel különböző \(\displaystyle k\) (pozitív egész) számokhoz nyilván csak különböző \(\displaystyle n\)-ek tartozhatnak, ezért valóban végtelen sok izgalmas szám van (és ezt akartuk igazolni).

Statisztika:

A B. 5443. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai