 |
A B. 5444. feladat (2025. február) |
B. 5444. Az \(\displaystyle ABCDEF\) húrhatszögben az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle CF\) átlók metszéspontja \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle AE\) és a \(\displaystyle BF\) metszéspontja pedig \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle BC=CP\) és \(\displaystyle DP=DE\), akkor \(\displaystyle PQ\) felezi a \(\displaystyle BQE\) szöget.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Legyen \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle E'\) a másik két pont a körülírt körön, amire \(\displaystyle BC=B'C=CP\), illetve \(\displaystyle DE=DE'=DP\).
A \(\displaystyle BB'F\) háromszögben a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle FC\) szögfelezőnek az a pontja, amelyre \(\displaystyle {BC=B'C=CP}\), tehát \(\displaystyle P\) a beírt kör középpontja. (Lásd pl. a B. 5291. feladat 1. megoldását.) Ugyanígy, az \(\displaystyle AEE'\) háromszögbe írt kör középpontja is \(\displaystyle P\).
A \(\displaystyle BB'F\) és az \(\displaystyle AEE'\) háromszög körülírt köre ugyanaz, és a beírt kör középpontja is. Például az Euler-féle \(\displaystyle d^2=r(r-2\varrho)\) képlet miatt a két háromszög beírt köre is ugyanakkora sugarú. Emiatt \(\displaystyle QE\) és \(\displaystyle QB\) a közös beírt kör két érintője, és \(\displaystyle QP\) felezi a \(\displaystyle BQE\sphericalangle\)-et.
2. megoldás. Legyen a körülírt kör sugara \(\displaystyle r\), ekkor az \(\displaystyle FBC\) és az \(\displaystyle ADE\) háromszögben \(\displaystyle \dfrac{BC}{\sin BFC\sphericalangle}=\dfrac{DE}{\sin DAE\sphericalangle}=2r\). Az \(\displaystyle APQ\) és a \(\displaystyle QPF\) háromszögben a szinusztétel szerint \(\displaystyle \dfrac{AP}{\sin AQP\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin PAQ\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin DAE\sphericalangle}\), illetve \(\displaystyle \dfrac{PF}{\sin PQF\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin QFP\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin BFC\sphericalangle}\). A \(\displaystyle P\) pontnak a körülírt körre vonatkozó hatványa \(\displaystyle -PA\cdot PD=-PC\cdot PF\). Mindezeket felhasználva
\(\displaystyle \sin AQP\sphericalangle =\dfrac{AP\cdot\sin DAE\sphericalangle}{PQ} =\dfrac{AP \cdot DE}{PQ\cdot2r} =\dfrac{AP \cdot PD}{PQ\cdot2r} \)
\(\displaystyle =\dfrac{PF \cdot PC}{PQ\cdot2r} =\dfrac{PF \cdot BC}{PQ\cdot2r} =\dfrac{PF\cdot\sin BFC\sphericalangle}{PQ} =\sin PQF\sphericalangle. \)
Ebből az állítás azonnal következik.
Statisztika:
A B. 5444. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. februári matematika feladatai