A B. 5445. feladat (2025. február)

B. 5445. Igaz-e, hogy ha egy pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat elemei között van négyzetszám és köbszám is, akkor a sorozatban hatodik hatvány is van?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. 1. állítás. Minden $\displaystyle p^{\alpha}$ prímhatványra és $\displaystyle m$ egészre igaz, hogy ha léteznek olyan $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ egészek, melyekre $\displaystyle m\equiv y^2\equiv x^3\mod{p^{\alpha}}$, akkor létezik olyan $\displaystyle z$ egész, melyre $\displaystyle m\equiv z^6\mod{p^{\alpha}}$.

Bizonyítás. Ha $\displaystyle (x,p)=1$, akkor létezik olyan $\displaystyle x^{-1}$, hogy $\displaystyle xx^{-1}\equiv 1\mod{p^{\alpha}}$. Ekkor

$\displaystyle (yx^{-1})^6\equiv y^6(x^{-1})^6\equiv (x^3)^3(x^{-1})^6\equiv x^{3}\equiv m\mod{p^{\alpha}}.$

Ha $\displaystyle (x,p)=p$, akkor legyen $\displaystyle p$ kitevője $\displaystyle x$-ben $\displaystyle \beta$, vagyis $\displaystyle x=p^{\beta} x'$, ahol $\displaystyle (x',p)=1$. Ekkor $\displaystyle y^2=(p^{\beta} x')^3+kp^{\alpha}$ valamely $\displaystyle k$ egészre. Ha $\displaystyle 3\beta\geq\alpha$, akkor a jobb oldal osztható $\displaystyle p^{\alpha}$-nal, vagyis $\displaystyle z=0$ megfelel. Ha $\displaystyle 3\beta<\alpha$, akkor a jobb oldalban $\displaystyle p$ kitevője $\displaystyle 3\beta$. Mivel $\displaystyle y^2$-ben $\displaystyle p$ kitevője páros, $\displaystyle 3\beta$ páros, vagyis $\displaystyle \beta=2\gamma$, és $\displaystyle y=p^{3\gamma}y'$ (ahol $\displaystyle (y',p)=1$). Tehát

$$\begin{align*} (p^{3\gamma}y')^2=(p^{\beta} x')^3+kp^{\alpha},\\ (y')^2=(x')^3+kp^{\alpha-6\gamma}. \end{align*}$$

Ekkor a fentebbi eset szerint létezik olyan $\displaystyle z'$, hogy $\displaystyle (z')^6\equiv (y')^2\equiv (x')^3\mod{p^{\alpha-6\gamma}}$, azaz

$$\begin{align*} (z')^6&=(y')^2+k'p^{\alpha-6\gamma},\\ (z'p^{\gamma})^6&=(y'p^{3\gamma})^2+k'p^{\alpha},\\ &=y^2+k'p^{\alpha}. \end{align*}$$

Tehát $\displaystyle (z'p^{\gamma})^6\equiv y^2\equiv m\mod{p^{\alpha}}$.

Legyen a számtani sorozat első eleme $\displaystyle a$, differenciája $\displaystyle d$, melynek prímtényezős felbontása $\displaystyle d=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_n^{\alpha_n}$. Mivel a sorozat tartalmaz négyzetszámot és köbszámot is, léteznek olyan $\displaystyle l,m$ egészek, hogy $\displaystyle l^2=a+s_1d$, $\displaystyle m^3=a+s_2d$, azaz $\displaystyle l^2\equiv m^3\equiv a\mod{d}$. Ekkor az 1. állítás alapján minden $\displaystyle p_k^{\alpha_k}$-ra van olyan $\displaystyle z_k$, hogy $\displaystyle z_k^6\equiv a\mod{p_k^{\alpha_k}}$. A kínai maradéktétel szerint létezik olyan $\displaystyle z$, hogy $\displaystyle z\equiv z_k\mod{p_k^{\alpha_k}}$ minden $\displaystyle k=1,2,\dots,n$-re. Erre a $\displaystyle z$-re teljesül, hogy $\displaystyle z^6\equiv (z_k)^6\equiv a\mod{p_k^{\alpha_k}}$ minden $\displaystyle k$-ra, ezért a kínai maradéktétel szerint $\displaystyle z^6\equiv a\mod{d}$. Válasszunk egy olyan nagy $\displaystyle N$-t, hogy $\displaystyle (z+Nd)^6>a$. Most teljesül, hogy $\displaystyle (z+Nd)^6=a+s_3d$ valamely $\displaystyle s_3$ pozitív egészre, azaz $\displaystyle (z+Nd)^6$ egy hatodik hatvány, mely szerepel a sorozatban.

Statisztika:

A B. 5445. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?