Problem B. 5447. (March 2025)

B. 5447. The sum of positive real numbers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle z\) is \(\displaystyle 2025\). Find the smallest possible value of \(\displaystyle x^2+y^2+z^2+20x+2y+5z\).

Proposed by: Márton Lovas, Budakalász

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kérdéses összeget jelöljük \(\displaystyle S\)-sel. Teljes négyzeteket kialakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle S+10^2+1^2+2{,}5^2=(x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2.\)

Alkalmazzuk a számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle x+10\), \(\displaystyle y+1\), \(\displaystyle z+2,5\) számokra:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{(x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2}{3}}\geq \frac{(x+10)+(y+1)+(z+2{,}5)}{3},\)

amiből

\(\displaystyle (x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2\geq \frac{(x+y+z+13{,}5)^2}{3}=\frac{2038{,}5^2}{3}=1385160{,}75,\)

és ezért

\(\displaystyle S\geq 1385160{,}75-10^2-1^2-2{,}5^2=1385053{,}5.\)

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a fenti, számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, vagyis ha \(\displaystyle x+10=y+1=z+2{,}5\). Ekkor \(\displaystyle 2025=x+y+z=x+(x+9)+(x+7{,}5)=3x+16{,}5\) alapján \(\displaystyle x=669{,}5\), és így \(\displaystyle y=678{,}5\) és \(\displaystyle z=677\). Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle S\geq 1\,385\,053{,}5\), és megmutattuk, hogy egyenlőség is lehetséges, így a kérdéses összeg legkisebb lehetséges értéke \(\displaystyle 1\,385\,053{,}5\).

Statistics:

91 students sent a solution.
3 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Balaskó Noémi, Balassa János, Balla Ignác , Baran Júlia, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Blaskovics Ádám, Bodor Ádám, Bodor Noémi, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Dancs Bálint, Fodor Barna, Görömbey Tamás, Guthy Gábor, Gyenes Károly, Hajba Milán, Halmosi Dávid, Han Xinzhi, Hideg János, Hodossy Réka, Horák Zsófia, Jurácsik Marcell, Kerekes András, Klement Tamás, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Mikó Hédi Irma, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Röst Vilmos, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Török Eszter Júlia, Vadkerti Vince, Vályi Nagy Ádám András, Vámosi Bendegúz Péter, Varga 511 Vivien, Viczián Márk, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
2 points:	27 students.
1 point:	6 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025