Problem B. 5449. (March 2025)

B. 5449. Find all pairs of positive integers \(\displaystyle (a,b)\) satisfying \(\displaystyle a^6=2b^2-1\).

Proposed by: Erik Füredi, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Adjunk az egyenlet mindkét oldalához 1-et, majd a bal oldalt alakítsuk szorzattá. Így az egyenlet:

\(\displaystyle a^6+1=(a^2)^3+1=(a^2+1)(a^4-a^2+1)=2b^2.\)

Először azt látjuk be, hogy a bal oldalon szereplő két tényező relatív prím.

\(\displaystyle a^4-a^2+1=a^4+a^2-2a^2-2+3=a^2(a^2+1)-2(a^2+1)+3=(a^2+1)(a^2-2)+3.\)

A közös osztó tehát osztója 3-nak, azonban \(\displaystyle a^2+1\) nem lehet 3-mal osztható, mert a négyzetszámok 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot adnak, vagyis \(\displaystyle a^2+1\) hármas maradéka csak 1 vagy 2 lehet. Megmutattuk, hogy \(\displaystyle a^2+1\) és \(\displaystyle a^4-a^2+1\) relatív prímek. Ennek megfelelően szorzatuk csak úgy lehet egy négyzetszám kétszerese, ha az egyik tényező négyzetszám, a másik pedig egy négyzetszám duplája.

Az \(\displaystyle a^2+1\) csak \(\displaystyle a=0\) esetén lehetne négyzetszám, de ez nem megoldás, mert \(\displaystyle a^6+1=1\neq 2b^2\). Ezek szerint az \(\displaystyle a^4-a^2+1\) kell, hogy négyzetszám legyen. Láttuk, hogy \(\displaystyle a=0\) nem megoldás, tehát \(\displaystyle a^2\ge 1\), emiatt teljesül a következő becslés:

\(\displaystyle (a^2-1)^2=a^4-2a^2+1<a^4-a^2+1\le a^4=(a^2)^2.\)

Innen azonnal adódik, hogy \(\displaystyle a^4-a^2+1\) csak abban az esetben lehet négyzetszám, ha \(\displaystyle a^2=1\), így az összes megoldásra \(\displaystyle a^2=1\) és ennek megfelelően \(\displaystyle b^2=1\).

A pozitív egész számok halmazán \(\displaystyle a=1, ~b=1\) az egyetlen megoldás.

Statistics:

53 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bui Thuy-Trang Nikolett, Dancs Bálint, Gyenes Károly, Hajdú Ábel, Holló Martin, Kerekes András, Klement Tamás, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sun Wen Ze, Szabó 721 Sámuel, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 points:	Diaconescu Tashi.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	19 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025