A B. 5450. feladat (2025. március)

B. 5450. Nevezzük az $\displaystyle n$ pozitív egész szám blokk-osztójának az olyan $\displaystyle d$ pozitív egész számot, amelyre teljesül, hogy $\displaystyle d|n$, valamint $\displaystyle d$ és $\displaystyle \frac{n}{d}$ relatív prím egészek. Jelölje $\displaystyle B(n)$ az $\displaystyle n$ szám blokk-osztóinak összegét. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amelynek nincs négy különböző prímosztója, és $\displaystyle B(n)=2n$.

Javasolta: Csizmazia Norbert (Harkány)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle d$ az $\displaystyle n$ egy tetszőleges osztója, akkor a $\displaystyle d$ és az $\displaystyle n/d$ prímtényezős felbontása együtt kiadja az $\displaystyle n$ prímtényezős felbontását. A $\displaystyle d$ akkor "blokkosztó", ha a két prímfelbontás diszjunkt, vagyis ha $\displaystyle d$ az $\displaystyle n$ néhány maximális prímhatvány osztójának szorzata, megengedve az üres szorzatot, amikor is $\displaystyle d=1$.

Az $\displaystyle n$ prímosztóinak száma szerint négy esetet vizsgálunk.

0. eset: Az $\displaystyle n$-nek nincs prímosztója.

Ez csak úgy lehet, ha $\displaystyle n=1$. Az $\displaystyle n=1$ nem megoldás, mert $\displaystyle B(1)=1\ne2$.

1. eset: Az $\displaystyle n$-nek pontosan egy prímosztója van.

Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle n$ prím vagy prímhatvány. Az $\displaystyle n$ maga a saját egyetlen maximális primhatvány osztója, így két blokkosztó van, az $\displaystyle 1$ és az $\displaystyle n$. Mivel $\displaystyle n>1$, $\displaystyle B(n)=1+n<2n$, az $\displaystyle n$ nem lehet megoldás.

2. eset: Az $\displaystyle n$-nek pontosan két prímosztója van.

Legyen $\displaystyle n$ prímtényezős felbontása $\displaystyle n=p^aq^b$; az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy $\displaystyle p^a<q^b$. Az $\displaystyle n$ blokkosztói az $\displaystyle 1$, $\displaystyle p^a$, $\displaystyle q^b$ és a $\displaystyle p^aq^b$. Az $\displaystyle n$ szám tehát akkor megfelelő, ha

$$\begin{gather*} B(n) = 2n \\ 1+p^a+q^b+p^aq^b = 2p^aq^b \\ p^aq^b-p^a-q^b+1 = 2 \\ (p^a-1)(q^b-1) = 2. \end{gather*}$$

A $\displaystyle 2$ egyetlen felbontása pozitív egészekre a $\displaystyle 2=1\cdot2$, tehát $\displaystyle p^a=2$, $\displaystyle q^b=3$ és $\displaystyle n=6$, ami valóban megoldás.

3. eset: Az $\displaystyle n$-nek pontosan három prímosztója van.

Legyen $\displaystyle n$ prímtényezős felbontása $\displaystyle n=p^aq^br^c$; feltehetjük, hogy $\displaystyle p^a<q^b<r^c$. Az $\displaystyle n$ blokkosztói: $\displaystyle 1$, $\displaystyle p^a$, $\displaystyle q^b$, $\displaystyle r^c$, $\displaystyle p^aq^b$, $\displaystyle p^ar^c$, $\displaystyle q^br^c$ és $\displaystyle p^aq^br^c$. Az $\displaystyle n$ szám akkor megfelelő, ha

$$\begin{gather*} 1+p^a +q^b +r^c+p^aq^b +p^ar^c+q^br^c +p^aq^br^c = 2p^aq^br^c \\ (p^a+1)(q^b+1)(r^c+1) = 2p^aq^br^c. \end{gather*}$$

Azért, hogy az esetek számát csökkentsük, osszuk el az egyenletet $\displaystyle p^aq^br^c$-nel, és becsüljük mindhárom prímhatványt $\displaystyle p^a$-val:

$$\begin{gather*} \bigg(1+\dfrac1{p^a}\bigg)^3 > \bigg(1+\dfrac1{p^a}\bigg)\bigg(1+\dfrac1{q^b}\bigg)\bigg(1+\dfrac1{r^c}\bigg) = 2 \\ 1+\frac1{p^a} > \sqrt[3]2 \\ p^a < \frac1{\sqrt[3]{2}-1}<4 \\ p^a=2 \quad\text{vagy}\quad p^a=3. \end{gather*}$$

3a. eset: $\displaystyle p^a=2$, és $\displaystyle n=2\cdot q^br^c$, ahol $\displaystyle 2<q^b<r^c$.

$$\begin{gather*} 3(q^b+1)(r^c+1) = 4q^br^c \\ q^br^c-3q^b-3r^c+9 = 12 \\ (q^b-3)(r^c-3) = 12. \end{gather*}$$

Mivel $\displaystyle 2<q^b<r^c$, egyik tényező sem lehet negatív.

Ha $\displaystyle q^b-3=1$ és $\displaystyle r^c-3=12$, akkor $\displaystyle q^b=4,r^c=15$; ez nem megoldás, mert $\displaystyle p=2$, $\displaystyle q$ és $\displaystyle r$ különböző prímszámok.

Ha $\displaystyle q^b-3=2$ és $\displaystyle r^c-3=6$, akkor $\displaystyle q^b=5,r^c=9$, $\displaystyle n=90$.

Ha pedig $\displaystyle q^b-3=3$ és $\displaystyle r^c-3=4$, akkor $\displaystyle q^b=6,r^c=7$; ez nem megoldás, mert a $\displaystyle 6$ nem prímhatvány.

3b. eset: $\displaystyle p^a=3$, és $\displaystyle n=3\cdot q^br^c$, ahol $\displaystyle 3<q^b<r^c$.

$$\begin{gather*} 4(q^b+1)(r^c+1) = 6q^br^c \\ q^br^c-2q^b-2r^c+4 = 6. \\ (q^b-2)(r^c-2) = 6. \\ \end{gather*}$$

Ha $\displaystyle q^b-2=1$ és $\displaystyle r^c-2=6$, akkor $\displaystyle q^b=3$ és $\displaystyle r^c=8$; ez nem ad megoldást, mert $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ nem lehetnek egyenlők.

Ha $\displaystyle q^b-2=2$ és $\displaystyle r^c-2=3$, akkor $\displaystyle q^b=4$ és $\displaystyle r^c=5$, $\displaystyle n=60$.

Összesen három megoldást találtunk: $\displaystyle 6,60,90$.

Statisztika:

A B. 5450. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?