 |
A B. 5452. feladat (2025. március) |
B. 5452. Az \(\displaystyle F\) fókuszpontú parabolán kijelöltük a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle P_n\) pontokat (\(\displaystyle {n\geq 3}\)) úgy, hogy
\(\displaystyle P_1FP_2\sphericalangle=P_2FP_3\sphericalangle=\ldots=P_nFP_1\sphericalangle=\frac{360^\circ}{n}. \)
Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle FP_1\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle FP_n\) távolságok harmonikus közepe a parabola paraméterével egyenlő.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A megoldás során a szögek értékét radiánban adjuk meg.
Először is bebizonyítjuk az alábbi ismert lemmát:
Tetszőleges \(\displaystyle n>1\) egész és valós \(\displaystyle \varphi\) esetén \(\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)}+\sin {\left(\varphi + 2 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}+\cdots + \sin {\left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}= 0\).
A lemma az alábbi ismert trigonometrikus összegzési képlet egyszerű következménye: tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén \(\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\sin {(\varphi +(n-1)\alpha )}=\frac {{\sin {\left({\frac {n\alpha }{2}}\right)}}\cdot \sin \left(\varphi +{\frac {(n-1)\alpha }{2}} \right)}{ \sin {\frac {\alpha }{2}}}\).
Ha ugyanis ebbe az összegzési képletbe \(\displaystyle \alpha = \frac{2 \pi}{n}\)-t helyettesítünk éppen a bizonyítandó lemmát kapjuk.
Ettől van elegánsabb bizonyítás is a lemmára, most ezt is megmutatjuk.
A lemma (második) bizonyítása során komplex számokkal dolgozunk. Tekintsük a \(\displaystyle z = \cos \varphi + i \sin \varphi\) komplex számot, és ezt szorozzuk meg rendre az \(\displaystyle \varepsilon_0=1; \varepsilon_1= \cos \frac{2 \pi}{n} + i \sin \frac{2 \pi}{n}; ... ;\varepsilon_{n-1}= \cos \frac{2 (n-1) \pi}{n} + i \sin \frac{2 (n-1)\pi}{n}\) számokkal, azaz az \(\displaystyle n\)-dik komplex egységgyökökkel. Jelölje a \(\displaystyle z \cdot \varepsilon_k\) szorzatot \(\displaystyle z_k\) (így például \(\displaystyle z=z_0\)), és adjuk össze a \(\displaystyle z_0+ z_1+ ... + z_{n-1}\) számokat kétféle módon is.
Először: \(\displaystyle z_0+ z_1+ ... + z_{n-1} = z (\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + ... + \varepsilon_{n-1}) = 0\), hiszen az \(\displaystyle n\)-edik egységgyökök összege \(\displaystyle n>1\) esetén éppen 0. Mivel az összeg értéke 0, valós és képzetes része is 0.
Másodszor (mivel trigonometrikus alakban megadott komplex számokat szorzunk össze): \(\displaystyle z_k=z \cdot \varepsilon_k= \cos {\left(\varphi + \frac{2 k \pi}{n} \right)} + i \cdot \sin {\left(\varphi + \frac{2 k\pi}{n} \right)}\), és így \(\displaystyle z_0+ z_1+ ... + z_{n-1}= \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi + \cos {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)} + i \cdot \sin {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)} + ... + \cos {\left(\varphi + \frac{2 (n-1) \pi}{n} \right)} + i \cdot \sin {\left(\varphi + \frac{2 (n-1)\pi}{n} \right)}\). Ennek az összegnek a képzetes része pedig éppen \(\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)}+\sin {\left(\varphi + 2 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}+\cdots + \sin {\left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}\), ami az első összegzés alapján pontosan 0.
Ezzel a lemmát (komplex számok segítségével is) beláttuk. (A bizonyításokból természetesen következik – mivel az összeg valós része is 0 – a lemmához hasonló ,,koszinuszos'' összefüggés is.)
Ezután térjünk rá magára a feladatra; az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a \(\displaystyle p\) paraméterű parabolánk – az alábbi ábrának megfelelően, ahol az \(\displaystyle n=5\) esetet ábrázoltuk – fókuszpontja \(\displaystyle F(0;\frac{p}{2})\), vezéregyenesének egyenlete \(\displaystyle y=-\frac{p}{2}\), továbbá jelölje \(\displaystyle FP_1\) félegyenese és az \(\displaystyle x\)-tengely (pozitív fele) által bezárt szöget \(\displaystyle \varphi \neq \frac{\pi}{2}\). (A feladat szövege alapján a többi \(\displaystyle P_k\) pont esetén hasonlóan definiálható \(\displaystyle \varphi_k = \varphi + (k-1) \cdot \frac{2 \pi}{n}\) szögek is különböznek \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)-től. )
Ha az \(\displaystyle FP_1\) távolságot \(\displaystyle r_1\)-gyel jelöljük, akkor \(\displaystyle P_1\) kordinátáira teljesül \(\displaystyle P_1\left( r_1 \cos \varphi; r_1 \sin \varphi + \frac{p}{2} \right)\), másfelől a parabola definíciója alapján \(\displaystyle r_1\) éppen megegyezik \(\displaystyle P_1\)-nek a vezéregyenestől vett távolságával, amiből következik, hogy \(\displaystyle r_1 = r_1 \sin \varphi + \frac{p}{2} + \frac{p}{2} = r_1 \sin \varphi +p \), innen adódik, hogy \(\displaystyle r_1(1 - \sin \varphi) = p\) és végül \(\displaystyle \dfrac{1}{r_1} = \dfrac{1 - \sin \varphi}{p}\).
A többi \(\displaystyle FP_i=r_i\) távolságra (a feladat feltételei alapján) hasonlóan adódik, hogy \(\displaystyle \dfrac{1}{r_i} = \dfrac{1 - \sin \left(\varphi + (i-1)\cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}{p}\).
Az eddigiek alapján az \(\displaystyle r_i=FP_i\) távolságok harmonikus közepe
\(\displaystyle H(r_1;r_2;...;r_n) = \dfrac{n}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + ... + \frac{1}{r_n}} = \dfrac{np}{(1 - \sin \varphi) + \left(1 - \sin \left(\varphi + 1 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) \right) + ... + \left(1 - \sin \left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) \right)} = \)
\(\displaystyle =\dfrac{np}{n- \left(\sin \varphi + \sin \left(\varphi + 1 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) + ... + \sin \left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) \right)} .\)
Az utolsó alak nevezőjében pedig a zárójelben az elsőként igazolt összefüggés alapján éppen \(\displaystyle 0\) áll. De akkor \(\displaystyle H(r_1;r_2;...;r_n) =\dfrac{np}{n}=p\) adódik, tehát az \(\displaystyle FP_1\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle FP_n\) távolságok harmonikus közepe valóban a parabola paraméterével egyenlő.
Megjegyzés: Ha megengedjük, hogy valamely \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle \varphi_i = \dfrac{\pi}{2}\) és így a hozzá tartozó \(\displaystyle P_i\) az ,,ideális'', végtelen távoli pont legyen, akkor az ehhez tartozó \(\displaystyle \dfrac{1}{r_i}\)-t természetes módon \(\displaystyle 0\)-nak tekintve továbbra is igaz marad a feladat állítása ezzel a ,,kitejesztett harmonikus középpel''.
Statisztika:
A B. 5452. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai