 |
A B. 5453. feladat (2025. március) |
B. 5453. Egy konvex polidéder lapjai az \(\displaystyle ABCD\), \(\displaystyle ABFE\), \(\displaystyle BCGF\), \(\displaystyle CDHG\), \(\displaystyle ADHE\) és \(\displaystyle EFGH\) négyszögek az ábra szerint. Az \(\displaystyle A\), illetve a \(\displaystyle G\) csúcsból induló élek páronként merőlegesek egymásra.
Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle [ABCD]^2+[ABFE]^2+[ADHE]^2 = [BCGF]^2+[CDHG]^2+[EFGH]^2. \)
(\(\displaystyle [XYZW]\) az \(\displaystyle XYZW\) négyszög területét jelöli.)
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A következő jól ismert tételt fogjuk használni: ha egy poliéder minden lapjára merőlegesen kifelé rajzolunk egy vektort, amelynek hossza éppen az adott lap területe, akkor ezen vektorok összege a nullvektor. (Bővebben lásd itt és itt. Az állítás szorosan kapcsolódik a nevezetes, 1897-ből származó Minkowski-problémához (illetve annak a speciális esetéhez), amellyel kapcsolatban Minkowski eredeti cikke itt olvasható.)
Rátérve a feladat megoldására, jelölje tehát a fenti eredménynek megfelelően \(\displaystyle \mathbf{t}_{XYZW}\) az \(\displaystyle XYZW\) lap kifelé mutató normálvektorát, amelynek hossza éppen \(\displaystyle XYZW\) lap területe. Ekkor a tétel szerint
\(\displaystyle \mathbf{t}_{ABCD} +\mathbf{t}_{ABFE} +\mathbf{t}_{ADHE} +\mathbf{t}_{BCGF} +\mathbf{t}_{CDHG} +\mathbf{t}_{EFGH} = \mathbf{0}. \)
Mivel az \(\displaystyle A\) csúcsra illeszkedő élek páronként merőlegesek, így a rá illeszkedő lapok is páronként merőlegesek, vagyis \(\displaystyle \mathbf{t}_{ABCD}\), \(\displaystyle \mathbf{t}_{ABFE}\) és \(\displaystyle \mathbf{t}_{ADHE}\) normálvektoraik is páronként merőlegesek. Merőleges vektorok skalárszorzata \(\displaystyle 0\), ezért
\(\displaystyle \Big (\mathbf{t}_{ABCD} +\mathbf{t}_{ABFE} +\mathbf{t}_{ADHE} \Big )^2=\mathbf{t}^2_{ABCD} +\mathbf{t}^2_{ABFE} +\mathbf{t}^2_{ADHE}+2\mathbf{t}_{ABCD}\mathbf{t}_{ABFE} +2\mathbf{t}_{ABCD} \mathbf{t}_{ADHE}+2 \mathbf{t}_{ABFE}\mathbf{t}_{ADHE}= \mathbf{t}^2_{ABCD} +\mathbf{t}^2_{ABFE} +\mathbf{t}^2_{ADHE}.\)
Ugyanígy
\(\displaystyle \Big(\mathbf{t}_{BCGF} +\mathbf{t}_{CDHG} +\mathbf{t}_{EFGH}\Big)^2=\mathbf{t}^2_{BCGF} +\mathbf{t}^2_{CDHG} +\mathbf{t}^2_{EFGH}.\)
Ezekből az állítás következik, ugyanis
\(\displaystyle [ABCD]^2+[ABFE]^2+[ADHE]^2= \mathbf{t}^2_{ABCD} +\mathbf{t}^2_{ABFE} +\mathbf{t}^2_{ADHE} = \Big(\mathbf{t}_{ABCD}+\mathbf{t}_{ABFE}+\mathbf{t}_{ADHE}\Big)^2 = \)
\(\displaystyle = \Big(-\mathbf{t}_{BCGF}-\mathbf{t}_{CDHG}-\mathbf{t}_{EFGH}\Big)^2=\mathbf{t}^2_{BCGF} +\mathbf{t}^2_{CDHG} +\mathbf{t}^2_{EFGH} = [BCGF]^2+[CDHG]^2+[EFGH]^2. \)
Statisztika:
3 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Aravin Peter, Gyenes Károly. 5 pontot kapott: Kámán-Gausz Péter.
A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai