A B. 5455. feladat (2025. április)

B. 5455. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalegyeneseinek metszéspontja \(\displaystyle P\), az átlók felezőpontja \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PMN\) háromszög területe negyede az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területének.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) az ábrák szerint metszik egymás (azaz \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle A\)-n és \(\displaystyle D\)-n túli meghosszabbításokon van). Ha a két átló felezőpontja egybeesne, akkor paralelogrammával lenne dolgunk, a szemközti oldalak egyenesei nem metszenék egymást. Legyen az \(\displaystyle AC\) átló felezőpontja \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle BD\) átló felezőpontja pedig \(\displaystyle N\). Az \(\displaystyle AC\) átló behúzása után a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle AC\) különböző félsíkjában vannak. Két esetet tárgyalunk aszerint, hogy az \(\displaystyle N\) pont a \(\displaystyle B\) ponttal (bal oldali ábra) vagy a \(\displaystyle D\) ponttal (jobb oldali ábra) van azonos félsíkban.

Az első esetben húzzuk meg a \(\displaystyle BDC\) és \(\displaystyle ADB\) háromszögek \(\displaystyle BD\) oldalhoz tartozó súlyvonalait (\(\displaystyle CN\) és \(\displaystyle AN\)). Ezek felezik az egyes háromszögek területeit, így látjuk, hogy az \(\displaystyle ANCD\) négyszög területe az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területének fele. Ezután ebben a négyszögben húzzuk be az \(\displaystyle ACD\) és \(\displaystyle ACN\) háromszögek \(\displaystyle AC\) oldalhoz tartozó súlyvonalait (\(\displaystyle DM\) és \(\displaystyle MN\)), ezzel feleztük az \(\displaystyle ANCD\) négyszög területét. Két lépésben tehát igazoltuk, hogy az \(\displaystyle ANMD\) négyszög területe az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területének negyedrésze. Ehhez a négyszöghöz vegyük még hozzá a \(\displaystyle PAD\) háromszöget, \(\displaystyle PANMD\) ötszög. Az \(\displaystyle M\) pont felezi az \(\displaystyle AC\) átlót, ezért a \(\displaystyle PDM\) háromszög \(\displaystyle PD\) oldalhoz tartozó magassága feleakkora, mint a \(\displaystyle PDA\) háromszög \(\displaystyle PD\) oldalhoz tartozó magassága. Ugyanez elmondható a \(\displaystyle PAN\) és \(\displaystyle PAD\) háromszögek \(\displaystyle PA\)-hoz tartozó magasságairól. Eszerint a \(\displaystyle PDM\) és \(\displaystyle PAN\) háromszögek területe együtt pontosan megegyezik a \(\displaystyle PAD\) háromszög területével. Befejezésként ha a \(\displaystyle PANMD\) ötszögből a \(\displaystyle PAD\) háromszöget hagyjuk el, akkor megmarad az \(\displaystyle ANMD\) négyszög, míg ha a \(\displaystyle PDM\) és \(\displaystyle PAN\) háromszögeket hagyjuk el, akkor megmarad a \(\displaystyle PNM\) háromszög. Tehát \(\displaystyle PNM\) területe éppen az \(\displaystyle ABCD\) területének negyedrésze.

Analóg módon járhatunk el abban az esetben is, amikor az \(\displaystyle A_1C_1\) átló azonos félsíkjában helyezkedik el a \(\displaystyle D_1\) és \(\displaystyle N_1\) pont: ekkor először a \(\displaystyle B_1M_1\) és \(\displaystyle D_1M_1\) súlyvonalakat húzzuk meg. Az \(\displaystyle A_1B_1M_1D_1\) négyszög területe az eredeti négyszög területének fele. Ezután az \(\displaystyle A_1N_1\) és \(\displaystyle M_1N_1\) súlyvonalakkal ismét felezzük a területet. Az \(\displaystyle A_1N_1M_1D_1\) területe már negyede az egész négyszög területének. Ehhez hozzávesszük a \(\displaystyle P_1A_1D_1\), majd elhagyjuk kétszer ennek a felét.

2. megoldás. Helyezzük el a négyszöget a derékszögű koordináta-rendszerben oly módon, hogy a szemközti oldalegyenesek metszéspontja legyen az origó, az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok legyenek az \(\displaystyle X\)-tengely azonos felén, míg a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle y=mx\) egyenesen. A pontok koordinátái ennek megfelelően: \(\displaystyle A(a,\,0)\), \(\displaystyle B(b,\,0)\), \(\displaystyle C(c,\,mc)\), végül \(\displaystyle D(d,\,md)\), \(\displaystyle cd>0\). Ha \(\displaystyle |a|<|b|\), akkor \(\displaystyle |c|>|d|\), ha pedig \(\displaystyle |b|<|a|\), akkor \(\displaystyle |c|<|d|\). Külön tárgyaljuk majd azt az esetet, ha a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle Y\)-tengely pontjai.

Ismert, hogy az olyan háromszög területe, amelynek egyik csúcsa az origó, másik két csúcspontja \(\displaystyle (x_1, x_2)\), \(\displaystyle (y_1, y_2)\) kifejezhető a \(\displaystyle T=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\) formulával.

Számítsuk ki az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területét:

\(\displaystyle (ABCD)=(PBC)-(PAD)=\frac{1}{2}|mbc-mad|.\)

Legyen az \(\displaystyle M\) pont az \(\displaystyle AC\) átló felezőpontja és \(\displaystyle N\) a \(\displaystyle BD\) átló felezőpontja, ekkor \(\displaystyle M\left(\frac{a+c}{2}, \frac{mc}{2}\right)\), \(\displaystyle N\left(\frac{b+d}{2}, \frac{md}{2}\right)\). A \(\displaystyle PMN\) háromszög területe:

\(\displaystyle (PMN)=\frac{1}{2}\left|\frac{b+d}{2}\cdot \frac{mc}{2}-\frac{a+c}{2}\cdot \frac{md}{2}\right|=\frac{1}{8}|mbc+mcd-mad-mcd|=\frac{1}{8}|mbc-mad|.\)

A két terület összehasonlításával \(\displaystyle (PMN)=\frac{1}{4}(ABCD)\).

Ha a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle Y\)-tengelyen helyezkednek el, akkor nem számolhatunk iránytényezővel, viszont számításaink lényegesen egyszerűsödnek, mert \(\displaystyle C(0, c)\), \(\displaystyle D(0, d)\) alapján

\(\displaystyle (ABCD)=\frac{1}{2}|bc-ad|.\)

Az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) felezőpontok: \(\displaystyle M=\left(\frac{a}{2}, \frac{c}{2}\right)\), \(\displaystyle N\left(\frac{b}{2}, \frac{d}{2}\right)\). A \(\displaystyle PMN\) háromszög területe

\(\displaystyle (PMN)=\frac{1}{2}\left|\frac{bc}{4}-\frac{ad}{4}\right|=\frac{1}{8}|bc-ad|=\frac{1}{4}(ABCD).\)

Megjegyzés: Affinitás alkalmazásával elérhető, hogy az \(\displaystyle APD\sphericalangle\) derékszög legyen. Affinitás alkalmazása esetén a területek aránya nem változik, így elegendő lehet erre az esetre elvégezni a számolást, amely éppen a második megoldás derékszögű esetének felel meg.

3. megoldás. Előjeles területekkel számolva

\(\displaystyle [PMN] = \tfrac12[PAN]+\tfrac12[PCN] = \tfrac14[PAD]+\tfrac14[PCB] = -\frac14[ABCD]. \)

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Diaconescu Tashi, Guthy Gábor, Hajba Milán, Hideg János, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Kerekes András, Kun Zsófia, Li Mingdao, Maróti Bálint, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Szabó 721 Sámuel, Vályi Nagy Ádám András, Vigh 279 Zalán, Vincze Marcell, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	Fajszi Horka, Gyenes Károly, Sun Wen Ze.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai