A B. 5456. feladat (2025. április)

B. 5456. Az \(\displaystyle a^{\log_b c}\), \(\displaystyle b^{\log_c a}\), \(\displaystyle c^{\log_a b}\) számok közül melyik lehet a legkisebb, illetve a legnagyobb, ha \(\displaystyle 1<a<b<c\)?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel a hatványok és a logaritmusok \(\displaystyle a,b,c\) alapjai pozitívak, ezért mindhárom kifejezés értelmezett és pozitív. (A továbbiakban az értelmezés kérdését nyilvánvalónak vesszük.)

Ezek után vegyük mindhárom kifejezés tízes alapú logaritmusát (hogy kevesebbet kelljen írni \(\displaystyle \log_{10} x\) helyett a megszokott \(\displaystyle \lg x\) módon jelöljük a továbbiakban a pozitív \(\displaystyle x\) szám tízes alapú logaritmusát.)

Mivel \(\displaystyle \lg x\) az értelmezési tartományán szigorúan növekvő függvény, ugyanaz lesz a sorrendje az eredeti kifejezéseknek és a logaritmusaiknak.

A logaritmus ismert azonosságait használva az első szám tízes alapú logaritmusára a következőt kapjuk:

\(\displaystyle \lg \left( a^{\log_b c} \right) = \log_b c \cdot \lg a = \dfrac{\lg a \cdot \lg c}{\lg b}=\dfrac{\lg a \cdot \lg b \cdot \lg c}{\left( \lg b \right)^2} \: .\)

A másik két kifejezés logaritmusára hasonlóan \(\displaystyle \lg \left( b^{\log_c a} \right) = \dfrac{\lg a \cdot \lg b \cdot \lg c}{\left( \lg c \right)^2}\) és \(\displaystyle \lg \left( c^{\log_a b} \right) = \dfrac{\lg a \cdot \lg b \cdot \lg c}{\left( \lg a \right)^2}\) adódik.

Mindhárom kapott tört – a feltételek miatt – csupa pozitív tényező szorzata és közös a számlálójuk, azaz sorrendjük pont fordított lesz, mint nevezőik sorrendje, így mivel \(\displaystyle 1<a<b<c\) volt és \(\displaystyle \lg x\) szigorúan növekvő, a nevezők növekvő sorrendje: \(\displaystyle \left( \lg a \right)^2<\left( \lg b \right)^2<\left( \lg c \right)^2\), így a feladatban vizsgált kifejezések sorrendje:

\(\displaystyle b^{\log_c a} < a^{\log_b c} < c^{\log_a b} \: .\)

Azaz a megadott számok közül a legkisebb \(\displaystyle b^{\log_c a}\) és a legnagyobb \(\displaystyle c^{\log_a b}\).

Megjegyzés: A tízes alapú logaritmus helyett természetesen bármilyen \(\displaystyle p>1\) alapú logaritmust választva a bizonyítás lényegében semmit nem változott volna.

Második megoldás. Lássuk be a következő egyszerű lemmát.

Lemma. Bármely \(\displaystyle p,q,r > 0\) számok esetén teljesül, hogy \(\displaystyle p^{\log_q r} = r^{\log_q p}\).

Lemma bizonyítása. A különböző alapú logaritmusokról szóló (a Négyjegyű függvénytáblázatban is szereplő) azonosságokat használva:

\(\displaystyle p^{\log_q r} = p^{\frac{\log_p{r}}{\log_p{q}}} = p^{\log_p{r} \cdot \frac{1}{\log_p{q}}} = p^{\log_p{r} \cdot \log_q{p}} = \left( p^{\log_p{r}} \right)^{\log_q{p}} = r^{\log_q p}. \)

A lemmát használva egyrészt \(\displaystyle a^{\log_b c} = c^{\log_b a} < c^{\log_a b} \) (az egyenlőtlenség azért teljesül, mert \(\displaystyle 1 < a < b\) miatt \(\displaystyle \log_b a < 1 < \log_a b\), illetve \(\displaystyle c > 1\) miatt \(\displaystyle c^x\) szigorúan monoton növő).

Másrészt pedig \(\displaystyle b^{\log_c a} = a^{\log_c b} < a^{\log_b c} \) (az egyenlőtlenség azért teljesül, mert \(\displaystyle 1 < b < c\) miatt \(\displaystyle \log_c b < 1 < \log_b c\), illetve \(\displaystyle a>1\) miatt \(\displaystyle a^x\) szigorúan monoton növő).

Ezzel beláttuk, hogy a feladat feltételeiből következik, hogy

\(\displaystyle b^{\log_c a} < a^{\log_b c} < c^{\log_a b}. \)

Azaz csak \(\displaystyle b^{\log_c a}\) lehet a legkisebb és csak \(\displaystyle c^{\log_a b}\) lehet a legnagyobb értékű a három kifejezés közül.

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	58 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai