A B. 5458. feladat (2025. április)

B. 5458. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), és \(\displaystyle AB<AC\). Az \(\displaystyle AI\)-re \(\displaystyle I\)-ben állított merőleges a \(\displaystyle BC\) egyenest \(\displaystyle P\)-ben, az \(\displaystyle AP\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kört másodszor \(\displaystyle Q\)-ban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle IQ\) merőleges \(\displaystyle AP\)-re.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Ekkor \(\displaystyle IAB\sphericalangle=\alpha/2\), \(\displaystyle IBA\sphericalangle=\beta/2\) és \(\displaystyle ICB\sphericalangle=\gamma/2\), hiszen \(\displaystyle I\) a szögfelezők metszéspontja. Az \(\displaystyle ABI\) háromszögben szöget számolva \(\displaystyle BIA\sphericalangle=180^\circ-\alpha/2-\beta/2\), így \(\displaystyle PIA=90^\circ\) miatt \(\displaystyle BIP\sphericalangle=90^\circ-\alpha/2-\beta/2=\gamma/2\).

Ebből következik, hogy \(\displaystyle PIC\triangle\) és \(\displaystyle PBI\triangle\) hasonló, hiszen \(\displaystyle P\)-nél lévő szögük közös, valamint \(\displaystyle PIB\sphericalangle=ICP\sphericalangle.\)

A hasonlóság miatt \(\displaystyle PI/PC=PB/PI\), azaz \(\displaystyle PI^2=PB\cdot PC\). A \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle ABC\) körre vonatkozó hatványát kétféleképpen felírva kapjuk, hogy \(\displaystyle PA\cdot PQ=PB \cdot PC\), amiből \(\displaystyle PI^2=PA\cdot PQ\) következik.

Az előző összefüggést átrendezve \(\displaystyle PA/PI=PI/PQ\), ebből viszont \(\displaystyle IQP\triangle\sim AIP\triangle\) következik, hiszen a két háromszögnek \(\displaystyle P\)-nél közös szöge van. A hasonlóság miatt \(\displaystyle IQP\sphericalangle=AIP\sphericalangle=90^\circ\), amivel az állítást beláttuk.

Diszkusszió: \(\displaystyle AB<AC\) feltétel és \(\displaystyle BIA\sphericalangle=180^\circ -\alpha/2-\beta/2>90^\circ\) miatt \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán van, így az ábránk helyes. A \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle A\) pontok sorrendje is szükségképpen helyes az ábrán, de ezt a megoldásban nem használjuk ki.

Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bui Thuy-Trang Nikolett, Diaconescu Tashi, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Kerekes András, Rajtik Sándor Barnabás, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Vigh 279 Zalán, Zhai Yu Fan.
4 pontot kapott:	Sajter Klaus, Szabó 721 Sámuel.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai