A B. 5463. feladat (2025. május)

B. 5463. Adott a pozitív körüljárású \(\displaystyle ABCD\) négyzet. Szerkesztendő olyan, szintén pozitív körüljárású, \(\displaystyle BEF\) szabályos háromszög, amelynek \(\displaystyle F\) csúcsa a \(\displaystyle B\) kezdőpontú, \(\displaystyle C\)-t tartalmazó félegyenesre esik, és amelyre \(\displaystyle EAF\sphericalangle=45^\circ\) teljesül.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Adott szabályos háromszöghöz a feladat feltételének megfelelő négyzet szerkesztése jóval kényelmesebb feladat. Először ezt végezzük el.

Vegyünk fel egy tetszőleges méretű, pozitív körüljárású \(\displaystyle B'E'F'\) szabályos háromszöget. Ennek \(\displaystyle E'F'\) oldala a szerkesztendő négyzet \(\displaystyle A'\) csúcsából \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben látszik, azaz az \(\displaystyle E'F'\) szakasz \(\displaystyle 45^\circ\)-os látókörívének pontja. A \(\displaystyle B'\) pontban a szabályos háromszög oldalára állított merőleges félegyenes kimetszi a megfelelő \(\displaystyle A'\) pontot a látókörívből. Ezután az ábrát \(\displaystyle \frac{AB}{A'B'}\) arányban nagyítva (vagy kicsinyítve) azonnal megkapjuk a megfelelő szabályos háromszög oldalának hosszúságát, és azt az előírt módon felmérhetjük a megadott négyzet \(\displaystyle BC\) oldalára, majd megszerkeszthetjük a keresett szabályos háromszöget. Világos, hogy pontosan egy megoldás van.

Statisztika:

A B. 5463. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai