A B. 5464. feladat (2025. május)

B. 5464. Legyen \(\displaystyle k>1\) egész szám. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle a_n=n^2+n+1\) sorozatnak végtelen sok olyan eleme van, amely a sorozat \(\displaystyle k\) különböző tagjának szorzatával egyenlő.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először belátjuk \(\displaystyle k = 2\)-re az állítást. Legyen \(\displaystyle n = m^2\) valamely \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb \(\displaystyle m\) egész számra. Ekkor

\(\displaystyle a_n = m^4 + m^2 + 1 = (m^2 + 1)^2 - m^2 = (m^2 + m + 1)(m^2 - m + 1). \)

Mivel \(\displaystyle m^2 - m + 1 = (m - 1)^2 + (m - 1) + 1 = a_{m-1}\), az \(\displaystyle m^2 - m + 1\) alakú számok is a sorozat elemei, tehát

\(\displaystyle a_{m^2} = a_{m-1}\cdot a_m\).

Az \(\displaystyle a_n\) sorozat szigorúan monoton növekvő, ezért különböző indexekhez különböző értékek tartoznak, ezért \(\displaystyle a_{m^2}\) a sorozat két különböző elemének szorzata. Ezt felhasználva, ha például \(\displaystyle n = m^4\), akkor

\(\displaystyle a_n = a_{m^4} = a_{(m^2)^2} = a_{m^2-1}\cdot a_{m^2} = a_{m^2-1}\cdot a_{m-1}\cdot a_m, \)

tehát végtelen sok olyan eleme van a sorozatnak, amely a sorozat három másik elemének a szorzata.

Általánosan, ha \(\displaystyle n = m^{2^{k-1}}\), akkor

\(\displaystyle a_{n} = a_{m^{2^{k-1}}} = a_{m^{2^{k-2}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-2}}} = \)

\(\displaystyle = a_{m^{2^{k-2}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-3}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-3}}} = \)

\(\displaystyle = a_{m^{2^{k-2}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-3}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-4}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-4}}} = \)

\(\displaystyle \vdots \)

\(\displaystyle = a_{m^{2^{k-2}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-3}}-1} \cdot a_{m^{2^{k-4}}-1} \cdot \ldots \cdot a_{m^{2}-1} \cdot a_{m-1} \cdot a_{m}. \)

Ezek az indexek nyilván különbözőek ha \(\displaystyle m > 1\), így a sorozat hozzájuk tartozó elemei is különbözőek, továbbá darabszámuk \(\displaystyle k\), amiből következik az állítás.

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Balla Ignác , Baran Júlia, Baranyi Ernő, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Fajszi Horka, Fülöp Levente, Gyenes Károly, Hajba Milán, Halmosi Dávid, Hideg János, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Kerekes András, Klement Tamás, Kun Zsófia, Li Mingdao, Ligeti Ábel, Maróti Bálint, Mikó Hédi Irma, Molnár Lili, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szaszkó Benedek, Tóth László Pál, Török Eszter Júlia, Várhegyi Hanna, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	Diaconescu Tashi.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai