A B. 5467. feladat (2025. május)

B. 5467. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) páratlan pozitív egészek esetén az \(\displaystyle (a+b+7)^7-a^7-b^7\) kifejezés értéke \(\displaystyle 168\)-cal osztva \(\displaystyle 7\) maradékot ad.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Lemma. Bármely páratlan \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle 168 \mid x^7-x\), azaz \(\displaystyle x^7 \equiv x \pmod{168}\).

Lemma bizonyítása.

• A kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle 7 \mid x^7 - x\) minden \(\displaystyle x\) egész számra.
• Szintén a kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle 3 \mid x^3 - x\), és mivel \(\displaystyle x^7 - x = (x^3-x)(x^4+x^2+1) \), ezért \(\displaystyle 3 \mid x^7 - x\) minden \(\displaystyle x\) egész számra.
• Mivel minden páratlan szám négyzete 1 maradékot ad 8-cal osztva, ezért \(\displaystyle x^7 - x = (x^2-1)(x^5+x^3+x)\) osztható 8-cal is minden páratlan \(\displaystyle x\) esetén.

Mivel a \(\displaystyle 3\), a \(\displaystyle 7\) és a \(\displaystyle 8\) legkisebb közös többszöröse \(\displaystyle 168\), beláttuk a lemmát. \(\displaystyle \square\)

A lemma háromszori alkalmazásával

\(\displaystyle (a+b+7)^7-a^7-b^7 \equiv (a+b+7)-a-b \equiv 7 \pmod{168}. \)

Megjegyzés. Ahogy a KöMaL 1951. decemberi F. 401. feladata is állítja, bármely \(\displaystyle a,b,c\) egész számokra teljesül, hogy

\(\displaystyle 7 (a + b) (a + c) (b + c) \mid (a+b+c)^7 - a^7 - b^7 - c^7. \)

(Valójában a \(\displaystyle 7(a+b)(a+c)(b+c)\) háromváltozós polinom kiemelhető a \(\displaystyle (a+b+c)^7 - a^7 - b^7 - c^7\) polinomból.) Ebből rögtön következik, hogy \(\displaystyle (a+b+7)^7-a^7-b^7-7^7\) osztható 7-tel és 8-cal is, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) páratlan egészek.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Baranyi Ernő, Baráth Borbála, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Bodnár Levente, Bodor Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bolla Donát Andor, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Diaconescu Tashi, Fajszi Horka, Fülöp Levente, Gaál Gergely, Guthy Gábor, Gyenes Károly, Hajszter Dóra, Halmosi Dávid, Harkay Ákos, Hodossy Réka, Holló Martin, Kámán-Gausz Péter, Kasza-Csótai Ádám, Kerekes András, Li Mingdao, Maróti Bálint, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Molnár Lili, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sárecz Bence, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Várhegyi Hanna, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhai Yu Fan.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai