Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5467. (May 2025)

B. 5467. Prove that for any odd positive integers \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) the remainder of \(\displaystyle (a+b+7)^7-a^7-b^7\) modulo 168 is 7.

Proposed by: Mihály Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Lemma. Bármely páratlan \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle 168 \mid x^7-x\), azaz \(\displaystyle x^7 \equiv x \pmod{168}\).

Lemma bizonyítása.

  • A kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle 7 \mid x^7 - x\) minden \(\displaystyle x\) egész számra.
  • Szintén a kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle 3 \mid x^3 - x\), és mivel \(\displaystyle x^7 - x = (x^3-x)(x^4+x^2+1) \), ezért \(\displaystyle 3 \mid x^7 - x\) minden \(\displaystyle x\) egész számra.
  • Mivel minden páratlan szám négyzete 1 maradékot ad 8-cal osztva, ezért \(\displaystyle x^7 - x = (x^2-1)(x^5+x^3+x)\) osztható 8-cal is minden páratlan \(\displaystyle x\) esetén.

Mivel a \(\displaystyle 3\), a \(\displaystyle 7\) és a \(\displaystyle 8\) legkisebb közös többszöröse \(\displaystyle 168\), beláttuk a lemmát. \(\displaystyle \square\)

A lemma háromszori alkalmazásával

\(\displaystyle (a+b+7)^7-a^7-b^7 \equiv (a+b+7)-a-b \equiv 7 \pmod{168}. \)

Megjegyzés. Ahogy a KöMaL 1951. decemberi F. 401. feladata is állítja, bármely \(\displaystyle a,b,c\) egész számokra teljesül, hogy

\(\displaystyle 7 (a + b) (a + c) (b + c) \mid (a+b+c)^7 - a^7 - b^7 - c^7. \)

(Valójában a \(\displaystyle 7(a+b)(a+c)(b+c)\) háromváltozós polinom kiemelhető a \(\displaystyle (a+b+c)^7 - a^7 - b^7 - c^7\) polinomból.) Ebből rögtön következik, hogy \(\displaystyle (a+b+7)^7-a^7-b^7-7^7\) osztható 7-tel és 8-cal is, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) páratlan egészek.

Statistics:

62 students sent a solution.
3 points:Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Baranyi Ernő, Baráth Borbála, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Bodnár Levente, Bodor Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bolla Donát Andor, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Diaconescu Tashi, Fajszi Horka, Fülöp Levente, Gaál Gergely, Guthy Gábor, Gyenes Károly, Hajszter Dóra, Halmosi Dávid, Harkay Ákos, Hodossy Réka, Holló Martin, Kámán-Gausz Péter, Kasza-Csótai Ádám, Kerekes András, Li Mingdao, Maróti Bálint, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Molnár Lili, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sárecz Bence, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Várhegyi Hanna, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhai Yu Fan.
2 points:4 students.
1 point:7 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025