A B. 5478. feladat (2025. október)

B. 5478. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög súlypontja \(\displaystyle S\), \(\displaystyle T\) pedig az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság talppontja. A \(\displaystyle T\) kezdőpontú \(\displaystyle TS\) félegyenes a háromszög köré írt kört \(\displaystyle V\)-ben metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle S\) harmadolja a \(\displaystyle TV\) szakaszt.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontját. Ha a háromszögben \(\displaystyle AB=AC\), akkor a \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle F\) pontok egybeesnek, és az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle V\) pontok is azonosak, azaz a \(\displaystyle TV\) szakasz a háromszög \(\displaystyle A=V\) pontból megrajzolt súlyvonala, amit \(\displaystyle S\) valóban harmadol. Tegyük fel a továbbiakban, hogy \(\displaystyle AB \neq AC\), és használjuk az alábbi ábrát és jelöléseit.

A \(\displaystyle STF\) háromszög képét az \(\displaystyle S\) középpontú \(\displaystyle \lambda=-2\) arányú középpontos hasonlóság mellett jelölje \(\displaystyle S'T'F'\). Nyilván \(\displaystyle S=S'\), továbbá mivel az \(\displaystyle S\) súlypont az \(\displaystyle AT\) súlyvonal \(\displaystyle F\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle F'=A\).

A középpontos hasonlóság tulajdonságai és aránya alapján \(\displaystyle TF \parallel T'F'=T'A\), és \(\displaystyle T'A=2 \cdot TF\). Jelölje \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle T'A\) szakasz felezőpontját. A \(\displaystyle TFGA\) négyszög két szemközti \(\displaystyle TF\) és \(\displaystyle GA\) oldala párhuzamos és egyenlő hosszúságú, azaz \(\displaystyle TFGA\) paralelogramma; továbbá \(\displaystyle ATF \sphericalangle =90^{\circ}\) figyelembevételével \(\displaystyle TFGA\) téglalap. Ebből következik, hogy \(\displaystyle CFG \sphericalangle =90^{\circ}\), azaz \(\displaystyle FG\) egyenese a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőmerőlegese. Az eddigiek alapján \(\displaystyle FG\) egyúttal \(\displaystyle AT'\) felezőmerőlegese is, azaz \(\displaystyle BCT'A\) szimmetrikus trapéz, tehát \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle T'\) és \(\displaystyle A\) pontok egy körön vannak, azaz \(\displaystyle T'\) rajta van \(\displaystyle ABC\) körén, és így (\(\displaystyle V\) feladatbeli definíciója miatt) \(\displaystyle T'=V\).

Ez pedig – a hasonlóság \(\displaystyle \lambda=-2\) arányát tekintve – éppen azt jelenti, hogy \(\displaystyle S\) a \(\displaystyle TV\) szakasz (\(\displaystyle T\)-hez közelebbi) harmadolópontja.

Megjegyzés: A háromszög Feuerbach-körének két ismert tulajdonsága (lásd a következő ábra!):

– a Feuerbach-kör sugara feleakkora, mint a háromszög köré írt kör sugara; illetve

– a háromszög \(\displaystyle S\) súlypontja az \(\displaystyle OF\) szakasz \(\displaystyle F\)-hez közelebbi harmadolópontja (ahol \(\displaystyle O\) a háromszög köré írt kör, míg \(\displaystyle F\) (most) a Feuerbach-kör középpontja).

Ezekből azonnal következik, hogy a Feuerbach-körön lévő \(\displaystyle T\) pont \(\displaystyle S\) középpontú \(\displaystyle \lambda=-2\) arányú középpontos hasonlóság melletti \(\displaystyle T'\) képe a háromszög kőré írt körének pontja, azaz \(\displaystyle T'=V\); és így valóban teljesül \(\displaystyle VS=2 \cdot ST\).

Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	63 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2025. októberi matematika feladatai