 |
A B. 5479. feladat (2025. október) |
B. 5479. Legyen \(\displaystyle d\) egy pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan pozitív egészekből álló \(\displaystyle (x, y)\) számpár van, melyre \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) számtani és mértani közepének különbsége \(\displaystyle d\).
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(3 pont)
A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladat feltételét olyan módon rendezzük, hogy az aktuális állapot mindig következzen az utána következőből, tehát a megoldások halmaza csökkenhet; az így kapott számolást el lehet mondani visszafelé.
Rendezzük a négyzetgyököt a baloldalra:
\(\displaystyle \frac{x+y}{2} - \sqrt{xy} = d, \)
| \(\displaystyle x+y - 2d = 2\sqrt{xy}. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Ez csak olyan \(\displaystyle (x,y)\) párokra teljesülhet, amelyekre \(\displaystyle x+y\ge 2d\).
Négyzetre emelés után rendezzük az egyenletet az \(\displaystyle x\) hatványai szerint:
\(\displaystyle x^2 +y^2 + 2xy + 4d^2 - 4dx -4dy = 4xy, \)
| \(\displaystyle x^2 - (2y + 4d)x + (y^2-4yd + 4d^2) = 0. \) | \(\displaystyle (2) \) |
A kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa
\(\displaystyle D= (2y + 4d)^2 - 4(y^2-4yd+4d^2) = 32yd. \)
Például ha \(\displaystyle y=2k^2d\) valamilyen \(\displaystyle k\) pozitív egésszel, akkor \(\displaystyle D=(8kd)^2\), és az \(\displaystyle (2)\) egyenlet nagyobbik gyöke
\(\displaystyle x = \frac{2y+4d + \sqrt{D}}{2} = \frac{4k^2d+4d + 8kd}{2} = 2dk^2 + 4dk +2d = 2(k+1)^2d. \)
Ezzel megkaptuk az
\(\displaystyle (x,y) = \big(2(k+1)^2d,2k^2d\big), \quad k=1,2,\ldots \)
megoldásokat.
Leolvashatjuk, hogy
\(\displaystyle x+y = 2(k+1)^2d+2k^2d > 2d , \)
ezért minden lépésünk elmondható fordított sorrendben, beleértve az \(\displaystyle (1)\) egyenlet négyzetre emelését is.
Statisztika:
A B. 5479. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. októberi matematika feladatai