A B. 5482. feladat (2025. október)

B. 5482. Kiválasztottunk páratlan sok egész számot. Egyet megváltoztattunk úgy, hogy a számok átlaga \(\displaystyle 1\)-gyel nőtt, de a szórásuk nem változott. Mutassuk meg, hogy az eredetileg kiválasztott számok átlaga egész.

Berkó Erzsébet (Szolnok) javaslata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás Legyenek a számok \(\displaystyle x_1, \ldots , x_m\) (\(\displaystyle m\) páratlan), az átlaguk \(\displaystyle A\). Ha az átlagot növelni akarjuk \(\displaystyle 1\)-gyel, akkor az összeget \(\displaystyle m\)-mel kell növelni, szóval tegyük fel, hogy a \(\displaystyle x_1\)-et növeltük \(\displaystyle m\)-mel.

Alkalmazzuk a szórás kiszámításáról szóló ismert azonosságot: \(\displaystyle \sigma^2 = \frac{\sum (x_i)^2}m - A^2\). (Ez a valószínűségi változók körében ismert \(\displaystyle \mathbb{D}^2(X) = \mathbb{E}\left( X^2\right) - (\mathbb{E}X)^2\) azonosság statisztikai megfelelője).

Tehát

\(\displaystyle \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^m (x_i)^2}{m} - A^2 = \sigma^2 =\frac{\sum_{i=2}^m(x_i)^2}{m}+\frac{(x_1+m)^2}{m}-(A+1)^2. \)

Rendezve

\(\displaystyle 2x_1+m=2A+1,\)

tehát \(\displaystyle A=x_1+\frac{m-1}{2}\), amely egy egész szám, mivel \(\displaystyle m\) páratlan.

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	70 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. októberi matematika feladatai