A B. 5484. feladat (2025. október)

B. 5484. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\), \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja pedig \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle M\) pontból az \(\displaystyle A\)-ból induló belső szögfelezőre bocsátott merőleges talppontja legyen \(\displaystyle T\). Az \(\displaystyle FT\) egyenes az \(\displaystyle AC\) oldalt \(\displaystyle D\)-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle CDF\) háromszög körülírt köre áthalad az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-ből húzott magasságának talppontján.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(6 pont)

A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, legyen a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság talppontja \(\displaystyle C_0\). Tükrözzük az \(\displaystyle M\) magasságpontot az \(\displaystyle AB\) oldalra, az \(\displaystyle AT\) szögfelezőre és a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontjára, és jelölje a tükörképeket rendre \(\displaystyle M_C\), \(\displaystyle M'\) és \(\displaystyle A'\). Jól ismert, hogy \(\displaystyle M_C\) és \(\displaystyle A'\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körén van, és \(\displaystyle A'\) éppen a kör \(\displaystyle A\)-val átellenes pontja, azaz \(\displaystyle AA'\) átmérő (lásd pl. itt és itt).

Szintén közismert, hogy az \(\displaystyle AT\) szögfelező felezi az \(\displaystyle AA'\) átmérő és \(\displaystyle AM\) magasságok szögét (lásd pl. 2. segédtétel itt). Ebből következik, hogy az \(\displaystyle M'\) tükörkép illeszkedik \(\displaystyle AA'\)-re.

Vegyük észre, hogy a tükrözések miatt \(\displaystyle TF\) középvonal az \(\displaystyle MM'A'\) háromszögben, azaz \(\displaystyle TF\parallel A'M'\), másképpen írva \(\displaystyle DF\parallel AA'\).

Ugyanígy \(\displaystyle C_0F\) középvonal az \(\displaystyle MM_CA'\) háromszögben, ezért \(\displaystyle FC_0\parallel A'M_C\). Így \(\displaystyle DFC_0\sphericalangle = AA'M_C\sphericalangle\), hiszen párhuzamos szárú szögek.

Másrészt az \(\displaystyle ABC\) körben azonos íven nyugvó kerületi szögek, tehát \(\displaystyle AA'M_C\sphericalangle = ACM_C\sphericalangle = DCC_0\sphericalangle \). Kaptuk, hogy \(\displaystyle DFC_0\sphericalangle=DCC_0\sphericalangle\), azaz \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle C_0D\) ugyanazon látókörívén van, amiből az állítás következik.

Diszkusszió: Világos, hogy \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle ABC\triangle\) belső pontjai. Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle BCC_0\) derékszögű háromszög átfogójának felezőpontja \(\displaystyle F\), így \(\displaystyle BFC_0\sphericalangle=2BCC_0\sphericalangle\). Így – felhasználva a megoldásban leírtakat is – következik, hogy \(\displaystyle BFT\sphericalangle>BCA\sphericalangle\), tehát \(\displaystyle D\) pont létezik, és a \(\displaystyle C\) kezdőpontú, \(\displaystyle A\)-t tartalmazó félegyenesen van.

Statisztika:

A B. 5484. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. októberi matematika feladatai