 |
A B. 5504. feladat (2026. január) |
B. 5504. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) nem mind egyenlő valós számok. Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}>\sqrt[3]{abc} \)
akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}>0\).
Javasolta: Barczy Mátyás (Szeged) és Páles Zsolt (Debrecen)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Megoldásunk kulcsa az alábbi közismert (és a zárójelek felbontásával könnyen igazolható) azonosság:
| \(\displaystyle (1) \) | \(\displaystyle x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy -xz - yz).\) |
Mivel
\(\displaystyle 2(x^2+y^2+z^2 - xy -xz -yz) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2, \)
ezért az (1) egyenlőség jobb oldalán szereplő szorzat második tényezőjére teljesül, hogy
| \(\displaystyle (2) \) | \(\displaystyle x^2+y^2+z^2 - xy -xz - yz > 0,\) |
ha \(\displaystyle x,y\) és \(\displaystyle z\) nem mind egyenlő. Következésképpen, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) nem mind egyenlő valós számok, akkor \(\displaystyle x^3+y^3+z^3 - 3xyz > 0\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle x+y+z>0\).
Ebből az \(\displaystyle x:=\sqrt[3]{a}\), \(\displaystyle y:=\sqrt[3]{b}\) és \(\displaystyle z:=\sqrt[3]{c}\) választásokkal rögtön következik a feladat állítása (mivel \(\displaystyle a,b,c\) nem mind egyenlő és a \(\displaystyle t \mapsto \sqrt[3]{t}\) függvény szigorúan monoton növekvő, ezért \(\displaystyle x,y,z\) sem mind egyenlő).
Megjegyzés. Érdekességképp megmutatjuk, hogy ha \(\displaystyle a,b,c,d\) és \(\displaystyle e\) nem mind egyenlő valós számok, akkor általában nem igaz, hogy
\(\displaystyle \frac{a+b+c+d+e}{5} > \sqrt[5]{abcde} \)
akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}+\sqrt[5]{d}+\sqrt[5]{e}>0\). Például, ha \(\displaystyle a=b=c=d=-1\) és \(\displaystyle e=14\), akkor
\(\displaystyle \frac{a+b+c+d+e}{5} = 2,\qquad \sqrt[5]{abcde} = \sqrt[5]{14}\approx 1,695, \)
és
\(\displaystyle \sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}+\sqrt[5]{d}+\sqrt[5]{e} = \sqrt[5]{14}-4 \approx -2,305, \)
és ezért
\(\displaystyle \frac{a+b+c+d+e}{5} > \sqrt[5]{abcde}, \)
viszont \(\displaystyle \sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}+\sqrt[5]{d}+\sqrt[5]{e}<0\).
Statisztika:
A B. 5504. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. januári matematika feladatai