Problem B. 5529. (April 2026)

B. 5529. How many of the perfect powers \(\displaystyle 6^2\), \(\displaystyle 6^3\), \(\displaystyle 6^4\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 6^{2026}\) have a first digit that is smaller than \(\displaystyle 6\)?

Proposed by Attila Sztranyák, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is vegyük észre, hogy a \(\displaystyle 6^n\) szám első számjegye pontosan akkor kisebb, mint 6, ha \(\displaystyle 6^{n-1}\) kevesebb számjegyből áll, mint \(\displaystyle 6^n\). (Valóban, egy \(\displaystyle [6\cdot 10^k,10^{k+1})\) intervallumba eső szám hatodrésze is legalább \(\displaystyle 10^k\), tehát ugyanannyi jegyből áll, viszont egy \(\displaystyle [10^k,6\cdot 10^k)\) intervallumba eső szám hatodrésze kisebb, mint \(\displaystyle 10^k\), és így kevesebb jegyből áll.)

Szintén világos, hogy a \(\displaystyle 6^2,6^3,\dots\) sorozatban mindegyik szám vagy ugyanannyi, vagy 1-gyel több jegyből áll, mint az előző. A \(\displaystyle 6^2=36\) szám 2-jegyű, így ha \(\displaystyle 6^{2026}\) jegyeinek száma \(\displaystyle K\), akkor a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle K-1\): minden \(\displaystyle 2\leq i\leq K\) mellett a sorozatban a legkisebb \(\displaystyle i\)-jegyű számokat véve megkapjuk a 6-tal kisebb jeggyel kezdődőket. (A sorozat első tagja 36, ami szintén teljesíti a feltételt.)

A \(\displaystyle K\) szám meghatározásához tekintsük a \(\displaystyle K\) definíciója alapján fennálló \(\displaystyle 10^{K-1}\leq 6^{2026}<10^{K}\) egyenlőtlenségeket, amiből 10-es alapú logaritmust véve a

\(\displaystyle K-1\leq \log_{10} 6^{2026}<K\)

egyenlőtlenségeket kapjuk, és így \(\displaystyle K=[\log_{10} 6^{2026}]+1=[2026\cdot \log_{10}6]+1=1577\), hiszen \(\displaystyle 2026\log_{10}=1576,534\dots\)

A feladat kérdésére a válasz tehát \(\displaystyle K-1=1576\).

Statistics:

Problem B. 5529. is not processed yet.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026