Problem B. 5529. (April 2026)

B. 5529. How many of the perfect powers \(\displaystyle 6^2\), \(\displaystyle 6^3\), \(\displaystyle 6^4\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 6^{2026}\) have a first digit that is smaller than \(\displaystyle 6\)?

Proposed by Attila Sztranyák, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is vegyük észre, hogy a \(\displaystyle 6^n\) szám első számjegye pontosan akkor kisebb, mint 6, ha \(\displaystyle 6^{n-1}\) kevesebb számjegyből áll, mint \(\displaystyle 6^n\). (Valóban, egy \(\displaystyle [6\cdot 10^k,10^{k+1})\) intervallumba eső szám hatodrésze is legalább \(\displaystyle 10^k\), tehát ugyanannyi jegyből áll, viszont egy \(\displaystyle [10^k,6\cdot 10^k)\) intervallumba eső szám hatodrésze kisebb, mint \(\displaystyle 10^k\), és így kevesebb jegyből áll.)

Szintén világos, hogy a \(\displaystyle 6^2,6^3,\dots\) sorozatban mindegyik szám vagy ugyanannyi, vagy 1-gyel több jegyből áll, mint az előző. A \(\displaystyle 6^2=36\) szám 2-jegyű, így ha \(\displaystyle 6^{2026}\) jegyeinek száma \(\displaystyle K\), akkor a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle K-1\): minden \(\displaystyle 2\leq i\leq K\) mellett a sorozatban a legkisebb \(\displaystyle i\)-jegyű számokat véve megkapjuk a 6-tal kisebb jeggyel kezdődőket. (A sorozat első tagja 36, ami szintén teljesíti a feltételt.)

A \(\displaystyle K\) szám meghatározásához tekintsük a \(\displaystyle K\) definíciója alapján fennálló \(\displaystyle 10^{K-1}\leq 6^{2026}<10^{K}\) egyenlőtlenségeket, amiből 10-es alapú logaritmust véve a

\(\displaystyle K-1\leq \log_{10} 6^{2026}<K\)

egyenlőtlenségeket kapjuk, és így \(\displaystyle K=[\log_{10} 6^{2026}]+1=[2026\cdot \log_{10}6]+1=1577\), hiszen \(\displaystyle 2026\log_{10}=1576,534\dots\)

A feladat kérdésére a válasz tehát \(\displaystyle K-1=1576\).

Statistics:

45 students sent a solution.
3 points:	Áron Bence, Balla Ignác , Barabás Ákos, Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Danka Emma, Fajszi Horka, Fodor Barna, Lovas Márk, Miszori Gergő, Miszori Márton, Sajter Klaus, Sasvári Zoltán, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Szabó-Caceres Alan Martin, Tarkó Nóra, Tóth László Pál, Tóth Luca, Weng Chenxin, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma.
2 points:	Albert Luca Liliána, Blaskovics Ádám, József Áron, Li Mingdao, Mihály Attila, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagy Roxána, Nagypál Katóca, Péter Hanna, Rotter Szabolcs, Szabó Erik, Szahnova Erzsébet, Varsányi Benedek.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026