A C. 1260. feladat (2014. december)

C. 1260. Az \(\displaystyle ABCD\) egységnégyzet \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalainak felezőpontja rendre: \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle I\), \(\displaystyle H\). Az \(\displaystyle ED\) és \(\displaystyle HI\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle EC\) és \(\displaystyle FI\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle G\). Mekkora a \(\displaystyle MEGI\) négyszög területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát. Jelölje az \(\displaystyle M\) pontból az \(\displaystyle IE\), illetve a \(\displaystyle HJ\) szakaszra bocsátott merőlegesek talppontját rendre \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle J\). Mivel \(\displaystyle IE\) a négyzet szimmetriatengelye, azért \(\displaystyle IE||AD\) és így \(\displaystyle J\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle K\) egy egyenesre illeszkednek. Ebből következik, hogy \(\displaystyle DI=JM+MK=1/2\).

\(\displaystyle MHD\triangle\sim MIE\triangle\), mert három szögben megegyeznek: az \(\displaystyle M\) csúcsnál lévő szögük csúcsszög, a másik két szögpár pedig váltószög. Ezért a magasságok arányára felírható a következő: \(\displaystyle \frac{JM}{MK}=\frac{DH}{IE}=\frac12\). Mivel \(\displaystyle JM+MK=1/2\), így \(\displaystyle JM=1/6\) és \(\displaystyle MK=1/3\).

Most már felírható a kérdéses terület: \(\displaystyle t_{MEGI}=2t_{MIE}=IE\cdot MK=1\cdot\frac13=\frac13\).

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	67 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai