 |
A C. 1265. feladat (2014. december) |
C. 1265. Határozzuk meg az
\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+4 \)
kifejezés legkisebb értékét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.
1. megoldás. Ábrázolva a függvényt valamilyen programmal, például geogebrával, megsejthető, hogy a minimum érték az 1. Próbáljuk meg ezt bizonyítani:
\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+4\geq1,\)
ami pontosan akkor igaz, amikor
| \(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+3\geq0.\) | (1) |
A bal oldali kifejezésbe \(\displaystyle x=1\)-et helyettesítve, 0-t kapunk. Bontsuk szorzattá a bal oldalt ennek felhasználásával:
\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+3=(x-1)(x^3-3x^2+5x-3).\)
A második tényező szintén 0-t ad az \(\displaystyle x=1\) helyen, így
\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+3=(x-1)^2(x^2-2x+3)=(x-1)^2((x-1)^2+2).\)
Az első tényező nemnegatív, a második pedig pozitív, így a szorzatuk is nemnegatív, vagyis (1) valóban igaz, a kifejezés legkisebb értéke az 1, amit \(\displaystyle x=1\) helyen vesz föl.
2. megoldás. A kifejezés teljes négyzet:
\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+4=(x^2-2x+2)^2=((x-1)^2+1)^2.\)
Akkor veszi fel a legkisebb értéket, amikor az \(\displaystyle (x-1)^2\), az pedig az \(\displaystyle x=1\) helyen. Ekkor az egész kifejezés értéke 1.
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Brányi Balázs, Egyházi Anna, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gurdics Dávid, Horváth 016 Gábor, Jakobi Ádám, Jójárt Alexandra, Kaló Ádám, Kasó Ferenc, Kerekes Tímea, Koch Lilla, Kósa Szilárd, Krisztián Jonatán, Krizsán Levente, Mándoki Sára, Marticsek Réka, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Nánási Dániel Bence, Orosz Bálint, Pintér Eszter, Porupsánszki István, Rejtő Balázs, Sándor Gergely, Stumphauser Nóra, Sudár Ákos, Szabó 157 Dániel, Szász Róbert, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Telek Máté László, Török Réka , Varjas István Péter, Vida Máté Gergely. 4 pontot kapott: Bálint Karola, Chourfi Abdel Karim, Kun Péter, Tóth Bence Tamás, Viharos Loránd Ottó, Vikár Simon. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai