Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1274. feladat (2015. február)

C. 1274. Egy cég 482 dolgozója 30 járművel csapatépítő tréningre utazik, amelyek 4, 19, illetve 21 utast tudnak szállítani. Minden járműnek tele kell lennie. Melyik járműből hányra van szükségük? Az összes megoldást adjuk meg.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelölje \(\displaystyle x\) a 4, \(\displaystyle y\) a 19 és \(\displaystyle z\) a 21 utast szállító járművek számát. Ekkor a következő egyenletrendszert írhatjuk fel:

\(\displaystyle 4x+19y+21z=482,\)

\(\displaystyle x+y+z=30.\)

A második egyenlet négyszerese:

\(\displaystyle 4x+4y+4z=120,\)

ezt az első egyenletből kivonva:

\(\displaystyle 15y+17z=362,\)

\(\displaystyle 15(y+z)+2z=362.\)

A jobb oldal 15-tel osztva 2 maradékot ad, a bal oldalon szereplő \(\displaystyle 15(y+z)\) pedig osztható 15-tel, így \(\displaystyle 2z\)-nek 15-tel osztva 2 maradékot kell adnia.

Ha \(\displaystyle 2z=2\), akkor \(\displaystyle z=1\). Innen \(\displaystyle 15y+17=362\), amiből \(\displaystyle y=23\) és így \(\displaystyle x=30-1-23=6\).

\(\displaystyle 2z\) nem lehet 17 (és más páratlan szám sem).

Ha \(\displaystyle 2z=32\), akkor \(\displaystyle z=16\), vagyis \(\displaystyle y=\frac{362-17\cdot16}{15}=6\) és \(\displaystyle x=30-16-6=8\).

Ha \(\displaystyle 2z=62\), vagy ennél nagyobb, akkor \(\displaystyle z>30\) lenne.

Tehát a megoldások: \(\displaystyle x_1=6\), \(\displaystyle y_1=23\), \(\displaystyle z_1=1\) és \(\displaystyle x_2=8\), \(\displaystyle y_2=6\) és \(\displaystyle z_2=16\).


Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:99 versenyző.
4 pontot kapott:10 versenyző.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai