A C. 1275. feladat (2015. február)

C. 1275. Melyik az a legnagyobb ötjegyű \(\displaystyle \overline{abcde}\) pozitív egész, ami osztható a \(\displaystyle \overline{bcde}\), \(\displaystyle \overline{cde}\), \(\displaystyle \overline{de}\) és \(\displaystyle e\) számok mindegyikével?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az utolsó oszthatósági feltételből következik, hogy \(\displaystyle e\neq0\), amiből aztán \(\displaystyle d\neq0\), \(\displaystyle c\neq0\) és \(\displaystyle b\neq0\) is következik.

Mivel \(\displaystyle \overline{abcde}=10000a+\overline{bcde}\), ezért \(\displaystyle 10000a=\overline{abcde}-\overline{bcde}\). A jobb oldal mindkét tagjának osztója \(\displaystyle \overline{bcde}\), így osztója a \(\displaystyle 10000a\)-nak is. Mivel \(\displaystyle 10000=2^4\cdot5^4\), és \(\displaystyle e\neq0\), vagyis \(\displaystyle 10\) nem osztója \(\displaystyle \overline{bcde}\)-nek, így \(\displaystyle \overline{bcde}\) lehetséges értékei \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 25\), \(\displaystyle 125\), \(\displaystyle 625\) és ezek \(\displaystyle x\)-szerese, ahol \(\displaystyle x\) egyjegyű páratlan szám. A megfelelő \(\displaystyle x\) értékek adják az \(\displaystyle a\) számjegyet.

Mivel \(\displaystyle 1111:9=123,\dot{4}\), ezért a szóba jövő számok: \(\displaystyle 9\cdot125=1125\), \(\displaystyle 3\cdot625=1875\), \(\displaystyle 5\cdot625=3125\), \(\displaystyle 7\cdot625=4375\) és \(\displaystyle 9\cdot625=5625\).

Az ezekből képezett \(\displaystyle \overline{abcde}\) számok: \(\displaystyle 91125\) (ez jó is), \(\displaystyle 31875\) (ez nem jó, mert \(\displaystyle 875\) nem osztója), \(\displaystyle 53125\) (ez is jó), \(\displaystyle 74375\) (ez sem jó, mert \(\displaystyle 75\) nem osztója), \(\displaystyle 95625\) (ez is jó).

Tehát a legnagyobb ilyen szám a \(\displaystyle 95625\).

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai