![]() |
A C. 1276. feladat (2015. február) |
C. 1276. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalainak belső pontjai rendre \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\), \(\displaystyle V\), amelyekre fennáll:
\(\displaystyle \frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZD}=\frac{DV}{VA}=k, \)
ahol a \(\displaystyle k\) egy \(\displaystyle \frac 12\)-nél kisebb pozitív állandó. Mekkora \(\displaystyle k\) értéke, ha az \(\displaystyle XYZV\) négyszög területe az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma területének 68%-a?
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Készítsünk ábrát. Legyen \(\displaystyle XB=a\) és \(\displaystyle YC=b\). Ekkor egyrészt \(\displaystyle AX=ka\) és \(\displaystyle BY=kb\), másrészt - mivel a paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak - \(\displaystyle CZ=ka\), \(\displaystyle ZD=a\), \(\displaystyle DV=kb\) és \(\displaystyle VA=b\).
Ha a belső négyszög területe az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma területének 68%-a, akkor a négy levágott háromszög területének összege a paralelogramma területének 32%-ával egyenlő:
\(\displaystyle \frac{t_{XBY}+t_{YZC}+t_{ZDV}+t_{VAX}}{t_{ABCD}}=\frac{32}{100}.\)
Számítsuk ki a négy négyszög területének arányát az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma területéhez külön-külön.
\(\displaystyle \frac{t_{XBY}}{t_{ABCD}}=\frac{t_{XBY}}{2t_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot XB\cdot BY\cdot\sin XBY\angle}{2\cdot\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin ABC\angle}=\frac{a\cdot kb\sin\beta}{2(ka+a)(kb+b)\sin\beta}=\frac{abk}{2ab(k+1)^2}=\frac{k}{2(k+1)^2}.\)
Ugyanezt az eredményt kapjuk a másik három háromszögre is. A négy háromszögre kapott arányt összeadva:
\(\displaystyle \frac{32}{100}=\frac{t_{XBY}+t_{YZC}+t_{ZDV}+t_{VAX}}{t_{ABCD}}=\frac{2k}{(k+1)^2}.\)
Ezt átalakítva:
\(\displaystyle \frac{2k}{(k+1)^2}=\frac{8}{25},\)
\(\displaystyle 50k=8(k+1)^2,\)
\(\displaystyle 50k=8k^2+16k+8,\)
\(\displaystyle 0=8k^2-34k+8,\)
\(\displaystyle 0=4k^2-17k+4,\)
\(\displaystyle k_{1,2}=\frac{17\pm\sqrt{17^2-4\cdot16}}{8}=\frac{17\pm15}{8},\)
amiből \(\displaystyle k_1=4\) és \(\displaystyle k_2=\frac14\). Mivel most \(\displaystyle k<\frac12\), ezért a megoldás: \(\displaystyle k=\frac14\).
Statisztika:
115 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 65 versenyző. 4 pontot kapott: 20 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. februári matematika feladatai