A C. 1283. feladat (2015. március)

C. 1283. Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz hosszabbik, \(\displaystyle AB\) alapja nem nagyobb a \(\displaystyle CD\) alap háromszorosánál. Felezzék a trapéz területét az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek, melyek rendre párhuzamosak a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle DA\) szárakkal. Jelölje az \(\displaystyle e\) metszéspontját \(\displaystyle AB\)-vel \(\displaystyle P\), \(\displaystyle f\) metszéspontját pedig \(\displaystyle Q\), továbbá a \(\displaystyle DC\)-vel való metszéspontokat rendre \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle Q'\).

\(\displaystyle a)\) Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek \(\displaystyle M\) metszéspontja illeszkedik a trapéz középvonalára.

\(\displaystyle b)\) Ha a \(\displaystyle PQ'P'Q\) négyszög paralelogramma, akkor hányadrésze lesz a \(\displaystyle MPQ\) háromszög területe az \(\displaystyle ABCD\) trapéz területének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A trapéz magasságát jelölje \(\displaystyle m\), legyen továbbá \(\displaystyle AB=b\) és \(\displaystyle CD=a\).

a) Tekintsük először a \(\displaystyle PP'\) által meghatározott két négyszöget. A \(\displaystyle PBCP'\) paralelogramma, hiszen szemközti oldalai párhuzamosak. Területe: \(\displaystyle t_{PBCP'}=PB\cdot m\). Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz területe ennek kétszerese:

\(\displaystyle t_{ABCD}=\frac{(a+b)\cdot m}{2}=2\cdot PB\cdot m,\)

amiből \(\displaystyle 2m>0\)-val való osztás után

\(\displaystyle PB=\frac{a+b}{4}.\)

Hasonló módon kapjuk, hogy \(\displaystyle AQ=DQ'=\frac{a+b}{4}\).

\(\displaystyle P'Q'=DQ'-DP'=DQ'-(a-P'C)=\frac{a+b}{4}-\left(a-\frac{a+b}{4}\right)=\frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}.\)

\(\displaystyle QP=AP-AQ=(b-PB)-AQ=b-\frac{a+b}{4}-\frac{a+b}{4}=b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}.\)

Azt kaptuk, hogy a \(\displaystyle QPQ'P'\) négyszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek, tehát a négyszög paralelogramma. Ezért átlói felezik egymást, tehát az \(\displaystyle M\) metszéspont rajta van a paralelogramma, és így a trapéz középvonalán is.

b) Az előbb beláttuk, hogy a \(\displaystyle PQ'P'Q\) négyszög mindig paralelogramma. Ezért az \(\displaystyle MPQ\) háromszög magassága \(\displaystyle \frac m2\).

\(\displaystyle t_{MPQ}=\frac12\cdot QP\cdot\frac m2=\frac12\cdot\frac{b-a}{2}\cdot\frac m2=\frac{m(b-a)}{8}.\)

\(\displaystyle t_{ABCD}=\frac{(a+b)m}{2}.\)

A két terület aránya:

\(\displaystyle \frac{t_{MPQ}}{t_{ABCD}}=\frac{\frac{m(b-a)}{8}}{\frac{(a+b)m}{2}}=\frac14\cdot\frac{b-a}{b+a}.\)

Megjegyzések. 1. Ez egy \(\displaystyle a\)-tól és \(\displaystyle b\)-től függő érték. Kicsit átalakítva: \(\displaystyle \frac14\cdot\frac{b-a}{b+a}=\frac14\cdot\frac{b+a-2a}{b+a}=\frac14-\frac14\cdot \frac{2a}{b+a}\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\leq b\leq3a\), amiből \(\displaystyle 2a\leq b+a\leq 4a\), ennek reciproka, \(\displaystyle \frac{1}{2a}\geq\frac{1}{b+a}\geq\frac{1}{4a}\). Ennek \(\displaystyle \frac{2a}{4}\)-szeresére is ugyanilyen irányú egyenlőtlenség áll fenn, tehát a \(\displaystyle -\frac{2a}{4}\)-szeresére fordított:

\(\displaystyle -\frac{2a}{4}\cdot\frac{1}{2a}\leq-\frac{2a}{4}\cdot\frac{1}{b+a}\leq-\frac{2a}{4}\cdot\frac{1}{4a},\)

\(\displaystyle -\frac14\leq-\frac14\cdot\frac{2a}{b+a}\leq-\frac18,\)

\(\displaystyle 0\leq\frac14-\frac14\cdot\frac{2a}{b+a}\leq\frac18.\)

Tehát a kérdéses arány 0 és \(\displaystyle \frac18\) közé eshet.

2. Akkor jön létre ez az ábra, ha \(\displaystyle PB\leq a\), ha \(\displaystyle \frac{a+b}{4}\leq a\), vagyis \(\displaystyle a+b\leq 4a\), amiből \(\displaystyle b\leq 3a\) következik, és ez a feladat feltételeként meg volt adva.

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bindics Boldizsár, Bottlik Judit, Csapó Márton, Cseh Noémi, Egyházi Anna, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Fetter László, Glasznova Maja, Horváth Botond, Jakus Balázs István, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Kovács Kristóf, Krisztián Jonatán, Mályusz Attila, Mándoki Sára, Marozsák Tóbiás , Márton Dénes, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Mihálykó Péter, Mikulás Zsófia, Németh 729 Gábor, Pap-Takács Mónika, Sándor Gergely, Schrettner Jakab, Sebastian Fodor, Souly Alexandra, Sudár Ákos, Szepesvári Csongor, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Tatai Mihály, Temesvári Bence, Tóth Tamás, Varga-Umbrich Eszter, Várkonyi Lídia, Vida Máté Gergely, Wei Cong Wu.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai